Два автомобиля одновременно отправились в 540 540 -километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 9 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 2 ч раньше…

Рассмотрим задачу и обозначим переменные:

• Пусть скорость второго автомобиля — \( v \) км/ч.
• Тогда скорость первого автомобиля — \( v + 9 \) км/ч.
• Время, за которое второй автомобиль проехал дистанцию 540 км, — \( t_2 \).
• Время первого автомобиля — \( t_1 \).

Из условия задачи:

• Первый прибыл на 2 часа раньше, значит: \[ t_1 = t_2 - 2 \]

Обозначим расстояние (540 км), тогда: \[ t_2 = \frac{540}{v} \] \[ t_1 = \frac{540}{v + 9} \]

По условию, разница во времени: \[ t_2 - t_1 = 2 \]

Подставляем выражения для времени: \[ \frac{540}{v} - \frac{540}{v + 9} = 2 \]

Рассмотрим это уравнение и решим его по шагам.

Шаг 1. Приведение к общему знаменателю:

\[ \frac{540(v + 9) - 540v}{v(v + 9)} = 2 \]

Раскроем числитель: \[ 540v + 540 \times 9 - 540v = 2 \times v(v + 9) \]

Это упрощается: \[ 540 \times 9 = 2v(v + 9) \]

Подставим значение \( 540 \times 9 \): \[ 4860 = 2v(v + 9) \]

Шаг 2. Раскроем скобки справа:

\[ 4860 = 2v^2 + 18v \]

Перенесем все в левую сторону уравнения: \[ 2v^2 + 18v - 4860 = 0 \]

Разделим все на 2 для упрощения: \[ v^2 + 9v - 2430 = 0 \]

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

Используем формулу дискриминанта: \[ D = 9^2 - 4 \times 1 \times (-2430) = 81 + 9720 = 9801 \]

Найдем корни: \[ v = \frac{-9 \pm \sqrt{9801}}{2} \]

Посчитаем \( \sqrt{9801} \): \[ \sqrt{9801} = 99 \]

Значения: \[ v = \frac{-9 \pm 99}{2} \]

Два варианта:

1. \(\displaystyle v = \frac{-9 + 99}{2} = \frac{90}{2} = 45\)
2. \(\displaystyle v = \frac{-9 - 99}{2} = \frac{-108}{2} = -54\)

Отрицательная скорость не имеет смысла, значит выбираем \( v = 45 \) км/ч.

Шаг 4. Найдём скорость первого автомобиля:

\[ v + 9 = 45 + 9 = 54 \text{ км/ч} \]

Ответ: скорость первого автомобиля — 54 км/ч.