Рассмотрим задачу и обозначим переменные:
- Пусть скорость второго автомобиля — ( v ) км/ч.
- Тогда скорость первого автомобиля — ( v + 9 ) км/ч.
- Время, за которое второй автомобиль проехал дистанцию 540 км, — ( t_2 ).
- Время первого автомобиля — ( t_1 ).
Из условия задачи:
- Первый прибыл на 2 часа раньше, значит:
[
t_1 = t_2 - 2
]
Обозначим расстояние (540 км), тогда:
[
t_2 = \frac{540}{v}
]
[
t_1 = \frac{540}{v + 9}
]
По условию, разница во времени:
[
t_2 - t_1 = 2
]
Подставляем выражения для времени:
[
\frac{540}{v} - \frac{540}{v + 9} = 2
]
Рассмотрим это уравнение и решим его по шагам.
Шаг 1. Приведение к общему знаменателю:
[
\frac{540(v + 9) - 540v}{v(v + 9)} = 2
]
Раскроем числитель:
[
540v + 540 \times 9 - 540v = 2 \times v(v + 9)
]
Это упрощается:
[
540 \times 9 = 2v(v + 9)
]
Подставим значение ( 540 \times 9 ):
[
4860 = 2v(v + 9)
]
Шаг 2. Раскроем скобки справа:
[
4860 = 2v^2 + 18v
]
Перенесем все в левую сторону уравнения:
[
2v^2 + 18v - 4860 = 0
]
Разделим все на 2 для упрощения:
[
v^2 + 9v - 2430 = 0
]
Шаг 3. Решим квадратное уравнение:
Используем формулу дискриминанта:
[
D = 9^2 - 4 \times 1 \times (-2430) = 81 + 9720 = 9801
]
Найдем корни:
[
v = \frac{-9 \pm \sqrt{9801}}{2}
]
Посчитаем ( \sqrt{9801} ):
[
\sqrt{9801} = 99
]
Значения:
[
v = \frac{-9 \pm 99}{2}
]
Два варианта:
- (\displaystyle v = \frac{-9 + 99}{2} = \frac{90}{2} = 45)
- (\displaystyle v = \frac{-9 - 99}{2} = \frac{-108}{2} = -54)
Отрицательная скорость не имеет смысла, значит выбираем ( v = 45 ) км/ч.
Шаг 4. Найдём скорость первого автомобиля:
[
v + 9 = 45 + 9 = 54 \text{ км/ч}
]
Ответ: скорость первого автомобиля — 54 км/ч.
