Реши
Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.
Задача:
Найти наименьшее целое значение параметра \(a\), при котором уравнение
\[
\sqrt{x^2 - 5x} + \sqrt{x^2 - 9x + 20} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{x - 5}
\]
имеют два корня.
Шаг 1. Анализ условий подкоренных выражений
Чтобы выражения под квадратным корнем имели смысл (были неотрицательными), необходимо выполнить условия:
- \(x^2 - 5x \ge 0\)
- \(x^2 - 9x + 20 \ge 0\)
- \(x - 5 \ge 0\) (так как в правой части есть \(\sqrt{x-5}\), которого не может быть отрицательным)
Шаг 2. Решение неравенств
- \(x^2 - 5x \ge 0\)
Разложим:
\[ x(x - 5) \ge 0 \]
Корни: \(x=0\), \(x=5\).
Знаменатель: квадратичная функция, её знак определяется тестированием интервалов:
- при \(x < 0\): оба множителя отрицательны, произведение положительно
- при \(0 < x < 5\): однин положительный, другой отрицательный, произведение отрицательно
- при \(x > 5\): оба положительны, произведение положительно
Отсюда:
\[
x \le 0 \quad \text{или} \quad x \ge 5
\]
- \(x^2 - 9x + 20 \ge 0\)
Разложим:
\[ (x - 4)(x - 5) \ge 0 \]
Корни: \(x=4\), \(x=5\).
Знак:
- при \(x < 4\): оба множителя отрицательны, произведение положительно
- при \(4 < x < 5\): один отрицательный, другой положительный — произведение отрицательно
- при \(x > 5\): оба положительны — произведение положительно
Отсюда:
\[
x \le 4 \quad \text{или} \quad x \ge 5
\]
- \(x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\)
Шаг 3. Область допустимых значений \(x\)
По совокупности условий:
- из 1: \(x \le 0\) или \(x \ge 5\)
- из 2: \(x \le 4\) или \(x \ge 5\)
- из 3: \(x \ge 5\)
Область пересечения:
\[
x \ge 5
\]
Итак, корни уравнения должны находиться в области \(\boxed{x \ge 5}\).
Шаг 4. Упростим уравнение
Теперь перепишем исходное уравнение:
\[ \sqrt{x^2 - 5x} + \sqrt{x^2 - 9x + 20} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{x - 5} \]
Обозначим:
\[ A = \sqrt{x^2 - 5x} \] \[ B = \sqrt{x^2 - 9x + 20} \] \[ C = \sqrt{a} \cdot \sqrt{x - 5} \]
Из области нашли: \(x \ge 5\).
Шаг 5. Попытка выразить и упростить
Рассмотрим каждую часть:
- \(A = \sqrt{x(x - 5)}\)
- \(B = \sqrt{(x - 4)(x - 5)}\)
Обратим внимание, что и в \(A\), и в \(B\) есть множитель \(\sqrt{x - 5}\):
\[ A = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x - 5} \] \[ B = \sqrt{x - 4} \cdot \sqrt{x - 5} \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ \boxed{ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x - 5} + \sqrt{x - 4} \cdot \sqrt{x - 5} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{x - 5} } \]
Так как \(x \ge 5\), то \(\sqrt{x - 5} \ge 0\). Можно разделить обе части уравнения на \(\sqrt{x - 5}\):
\[ \sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a} \]
Шаг 6. Решение уравнения для \(x \ge 5\)
Обозначим:
\[ \sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a} \]
Чтобы найти \(a\), необходимо найти возможные значения \(x \ge 5\) и определить, при каком минимальном \(a\) уравнение имеет два корня.
Шаг 7. Анализ функции
Рассмотрим функцию:
\[ f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x - 4} \]
при \(x \ge 5\).
- \(f(x)\) — непрерывная и строго возрастает для \(x \ge 5\).
- \(f(5) = \sqrt{5} + \sqrt{1} = \sqrt{5} + 1\).
Предел при \(x \to \infty\):
\[ f(x) \to \infty \]
- Значит, для каждого \(a \ge (\sqrt{5} + 1)^2\) у уравнения есть решение.
Шаг 8. Вычисление минимального \(a\)
Самое маленькое значение \(f(x)\) при \(x \ge 5\):
\[ f(5) = \sqrt{5} + 1 \]
Следовательно:
\[ \sqrt{a} = f(x) \ge \sqrt{5} + 1 \]
Отсюда:
\[ a \ge (\sqrt{5} + 1)^2 \]
Посчитаем:
\[ (\sqrt{5} + 1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 + 2 \sqrt{5} + 1 = 6 + 2 \sqrt{5} \]
Итог:
Для того чтобы уравнение имело две решения, нужно, чтобы при разных \(x \ge 5\) значение \(f(x)\) равнялось \(\sqrt{a}\), и при этом уравнение имело два различных решения.
Рассмотрим функцию:
\[ f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x - 4} \]
- она возрастает, значит для каждого \(a\) в диапазоне \(\ge \sqrt{5} + 1\) есть только одно решение.
Чтобы было два решения, необходимо, чтобы график функции и значение \(\sqrt{a}\) пересекались дважды — при двух различных \(x\).
Это возможно, если добавить условие, что корень уравнения \(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) равен как минимум дважды — то есть, чтобы \(f(x)\) пересекло горизонталь \(\sqrt{a}\) дважды. Это происходит, если \(\sqrt{a}\) равен или больше максимуму функции, и при этом функция равна этому значению в двух точках.
Но так как \(f(x)\) — строго возрастает, то оно может равняться \(\sqrt{a}\) только в одной точке при \(x \ge 5\).
Дополнительный шаг:
Условие, что уравнение имеет два корня, подразумевает, что у уравнения должна быть одна корень, меньшая или равная 5, и один — больше 5 (так как область — \(x \ge 5\)), тогда как считается, что оба корня — это решения, у соответствия с исходным уравнением.
Однако из анализа области видно, что все корни урaвнения - это \(x \ge 5\), и так как \(f(x)\) возрастает, то уравнение может иметь только один корень для каждого заданного \(\sqrt{a}\).
Чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы оба решения существовали — это невозможно при строгом возрастании функции \(f(x)\).
Заключение:
**Минимальное целое значение параметра \(a\), при котором уравнение имеет два корня, —
