Давайте решим неравенство:
[
(x - 3)(2x + 7) > 0
]
Задача — найти такие значения (x), при которых произведение двух выражений больше нуля, то есть положительно.
Шаг 1. Найдём точки нуля выражений
Чтобы понять, где выражение меняет знак, сначала найдём корни каждого множителя:
- (x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3)
- (2x + 7 = 0 \Rightarrow 2x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} = -3,5)
Итак, точки нуля — это (x = -3,5) и (x = 3).
Шаг 2. Разделим числовую ось на интервалы
Эти точки делят ось на 3 части:
- ((-\infty; -3,5))
- ((-3,5; 3))
- ((3; +\infty))
Шаг 3. Определим знак каждого множителя на интервалах
Для этого возьмем произвольное значение (x) из каждого интервала и посчитаем знаки множителей:
Интервал ((-\infty; -3,5))
Пусть (x = -4):
- (x - 3 = -4 - 3 = -7 \quad \Rightarrow \text{отрицательно})
- (2x + 7 = 2 \times (-4) + 7 = -8 + 7 = -1 \quad \Rightarrow \text{отрицательно})
Произведение: (\text{отрицательное} \times \text{отрицательное} = \text{положительное})
Интервал ((-3,5; 3))
Пусть (x = 0):
- (x - 3 = -3 \quad \Rightarrow \text{отрицательно})
- (2x + 7 = 7 \quad \Rightarrow \text{положительно})
Произведение: (\text{отрицательное} \times \text{положительное} = \text{отрицательное})
Интервал ((3; +\infty))
Пусть (x = 4):
- (x - 3 = 1 \quad \Rightarrow \text{положительно})
- (2x + 7 = 8 + 7 = 15 \quad \Rightarrow \text{положительно})
Произведение: (\text{положительное} \times \text{положительное} = \text{положительное})
Шаг 4. Анализируем интервал, где произведение > 0
Произведение положительно на интервалах:
- ((-\infty; -3,5))
- ((3; +\infty))
Обратите внимание, что точка (-3,5) и (3) не включены, так как при них произведение равно нулю, и условие — строго больше нуля.
Итог:
[
x \in (-\infty; -3,5) \cup (3; +\infty)
]
Ответ:
Вариант 3): (\boxed{(-\infty; -3,5) \cup (3; +\infty)})
Если нужны объяснения по другим вариантам — обращайтесь!
