Давайте разберём каждую задачу по очереди, подробно объясняя решения.
Задача 1:
Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на пяти свободных местах?
Объяснение:
Здесь у нас есть 5 человек и 5 свободных мест. Нужно узнать, сколько разных способов можно разместить этих человек в эти места.
Это задача на перестановки — количество способов расположить 5 уникальных элементов в 5 позиций.
Формула для перестановки из n элементов на n местах:
[
n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n
]
Для 5 человек:
[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
]
Ответ:
120 способов
Задача 2:
Сколько трёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1,2,5,7,9?
Объяснение:
Нам нужно составить трёхзначные числа, где все цифры разные, и при этом цифры берутся из множества ({1, 2, 5, 7, 9}).
Шаги:
- Выбрать первую цифру (сотни): есть 5 вариантов (любая из пяти).
- После выбора первой цифры, осталось 4 цифры для второй позиции (десятки).
- После выбора двух цифр, осталось 3 цифры для третьей позиции (единицы).
Порядок важно, потому что это разные числа (например, 125 ≠ 152).
Количество вариантов:
[
5 \times 4 \times 3 = 60
]
Ответ:
60 трёхзначных чисел
Задача 3:
Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных. Сколькими способами он это может сделать?
Объяснение:
Здесь нужно найти число сочетаний — сколько способов выбрать 2 книги из 10 различных.
Формула для сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Подставляем:
[
C(10, 2) = \frac{10!}{2! \times 8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} = \frac{90}{2} = 45
]
Ответ:
45 способов
Если нужно подробнее объяснить любой из пунктов или есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
