Давайте разберемся с задачей поэтапно.
Итак, у нас есть:
- Красных шариков: 5
- Синих шариков: 3
- Зеленых шариков: 2
Общая сумма: ( N = 5 + 3 + 2 = 10 )
Вы выбираете один шарик случайным образом. Величина (X) — это количество красных шариков, выбранных данным методом. Так как мы выбираем только один шарик, то возможные значения (X):
- (X=1), если выбран красный шарик
- (X=0), если выбран не красный шарик
Шаг 1: Найти вероятность каждого исхода
- Вероятность, что выбран красный шарик:
[
P(X=1) = \frac{\text{число красных шариков}}{\общее число} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
]
- Вероятность, что выбран не красный шарик:
[
P(X=0) = 1 - P(X=1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Определение дискретной случайной величины
Количество красных шариков в выбранном — это:
[
X = \begin{cases}
1, & \text{если выбран красный} \
0, & \text{если не красный}
\end{cases}
]
Это — простая случайная величина, биномиального типа, с двумя исходами.
Шаг 3: Вычисляем математическое ожидание (E[X])
[
E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
]
Шаг 4: Находим (E[X^2])
Так как (X) — биномиальная с двумя возможными значениями:
[
X^2 = \begin{cases}
1^2 = 1, & \text{если } X=1 \
0^2=0, & \text{если } X=0
\end{cases}
]
Следовательно,
[
E[X^2] = 0^2 \cdot P(X=0) + 1^2 \cdot P(X=1) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
]
Шаг 5: Вычисляем дисперсию (D[X])
Формула:
[
D[X] = E[X^2] - (E[X])^2
]
Подставляем значения:
[
D[X] = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
]
Ответ:
Дисперсия случайной величины (X):
[
\boxed{\frac{1}{4}}
]
