Представьте, что у вас есть урна с разноцветными шариками. В урне находится 5 красных, 3 синих и 2 зеленых шарика. Вы случайным образом вытаскиваете один шарик из урны. Давайте…

Давайте разберемся с задачей поэтапно.

Итак, у нас есть:

• Красных шариков: 5
• Синих шариков: 3
• Зеленых шариков: 2

Общая сумма: \( N = 5 + 3 + 2 = 10 \)

Вы выбираете один шарик случайным образом. Величина \(X\) — это количество красных шариков, выбранных данным методом. Так как мы выбираем только один шарик, то возможные значения \(X\):

• \(X=1\), если выбран красный шарик
• \(X=0\), если выбран не красный шарик

Шаг 1: Найти вероятность каждого исхода

• Вероятность, что выбран красный шарик:

\[ P(X=1) = \frac{\text{число красных шариков}}{\общее число} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

• Вероятность, что выбран не красный шарик:

\[ P(X=0) = 1 - P(X=1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Шаг 2: Определение дискретной случайной величины

Количество красных шариков в выбранном — это:

\[ X = \begin{cases} 1, & \text{если выбран красный} \\ 0, & \text{если не красный} \end{cases} \]

Это — простая случайная величина, биномиального типа, с двумя исходами.

Шаг 3: Вычисляем математическое ожидание \(E[X]\)

\[ E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Шаг 4: Находим \(E[X^2]\)

Так как \(X\) — биномиальная с двумя возможными значениями:

\[ X^2 = \begin{cases} 1^2 = 1, & \text{если } X=1 \\ 0^2=0, & \text{если } X=0 \end{cases} \]

Следовательно,

\[ E[X^2] = 0^2 \cdot P(X=0) + 1^2 \cdot P(X=1) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Шаг 5: Вычисляем дисперсию \(D[X]\)

Формула:

\[ D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \]

Подставляем значения:

\[ D[X] = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \]

Ответ:

Дисперсия случайной величины \(X\):

\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]