Рассмотрим каждое утверждение по порядку и определим, какие из них являются верными.
Задача 1: Укажите номера верных утверждений:
1) Через любую точку проходит не менее одной прямой.
Это утверждение истинно, поскольку через любую точку можно провести бесконечно много прямых, и, в частности, хотя бы одна существует.
Ответ: Верное.
2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
Рассмотрим:
Если две параллельные прямые, то при их пересечении любой третьей прямой соответственные углы равны. Однако, обратное — равность соответствующих углов не указывает обязательно на параллельность, если пересекающиеся прямые не подвергаются дополнительным условиям.
Но в данном случае условие: "при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°".
Ранее известно, что при пересечении двух параллельных прямых и третьей, пересекающей их под углом, соответственные углы равны. Значит, если эти углы равны и оба равны 65°, то первая гипотеза — что две прямые параллельны — верна.
Следовательно, утверждение — правильное.
3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.
Это — неверное утверждение. Внутренние накрест лежащие углы при пересечении двух прямых равны (если они равны 90°, то прямая, пересекающая их, перпендикулярна). Но для параллельных прямых внутренние накрест лежащие углы равны, а не сумма их равна 90°.
А если сумма внутрэнних накрест лежащих углов равна 90°, это не даёт основания считать, что прямые параллельны.
Ответ: Неверно.
ИТОГ:
Верные утверждения:
Вторая часть вопроса: Какие из следующих утверждений верны?
1) Все равнобедренные треугольники подобны.
Это неверно, потому что подобие треугольников требует совпадения углов, а не все равнобедренные треугольники имеют одинаковую форму. Они могут отличаться по размерам, так как подобие — это равенство углов и пропорциональность сторон.
2) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Это верно. Например, квадрат — прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и равны.
3) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Это неверно. В прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна 180°, а один из них — прямой (90°). Значит, сумма двух остальных — тоже 90°, однако в самом вопросе указано "сумма углов прямоугольного треугольника" — в общем случае это 180°, так что утверждение сформулировано неправильно (может, имелся в виду сумма острых углов, тогда да, — 90°, но в оригинале это не верно).
Верное в том смысле, что сумма всех углов — 180°, а в случае "сумма углов прямоугольного треугольника" — это 180°, так как условие подразумевает сумму всех углов.
Поэтому, скорее всего, это неверно, потому что указан неправильный результат (90° вместо 180°).
Итог по второму вопросу:
Верное утверждение — №2.
Ответ:
1 и 2.
