(x-10)(x+10)>0

Давайте подробно разберем неравенство \((x-10)(x+10) > 0\).

Шаг 1: Анализ интересующих точек

Рассмотрим выражение \((x-10)(x+10)\). Это — произведение двух множителей. Чтобы понять, где оно больше нуля, найдем нули этого выражения.

\[ x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10 \]

\[ x + 10 = 0 \Rightarrow x = -10 \]

Итак, нули выражения: \(x = -10\) и \(x = 10\).

Шаг 2: Разбивка по промежуткам

Эти нули делят числовую ось на три промежутка:

• \( (-\infty, -10) \)
• \( (-10, 10) \)
• \( (10, +\infty) \)

Теперь мы выясним знак произведения \((x-10)(x+10)\) на каждом из этих промежутков.

Шаг 3: Выбор тестовых точек и подстановка

Выберем произвольные точки в каждом промежутке и подставим их в выражение.

• В промежутке \((- \infty, -10)\): возьмем \(x = -11\)

  \[ (x-10)(x+10) = (-11 - 10)(-11 + 10) = (-21)(-1) = 21 > 0 \]

• В промежутке \((-10, 10)\): возьмем \(x=0\)

  \[ (0 - 10)(0 + 10) = (-10)(10) = -100 < 0 \]

• В промежутке \((10, +\infty)\): возьмем \(x=11\)

  \[ (11 - 10)(11 + 10) = (1)(21) = 21 > 0 \]

Шаг 4: Итоговое решение

Произведение больше нуля в тех промежутках, где знак выражения положителен:

• \(x \in (-\infty, -10)\)
• \(x \in (10, +\infty)\)

Также важно проверить точки разрыва — при \(x = -10\) и \(x=10\). Там выражение равно нулю, а условие — строго больше нуля, поэтому эти точки исключаются.

Итог: ответ

\[ \boxed{ x \in (-\infty, -10) \cup (10, +\infty) } \]

Это — решение неравенства.