Рассмотрим задачу поэтапно, чтобы найти общее число шаров в пяти ящиках.
Обозначения:
- ( R_i ) — число красных шаров в ( i )-м ящике,
- ( B_i ) — число белых шаров в ( i )-м ящике,
- ( S_i ) — число синих шаров в ( i )-м ящике, где ( i = 1, 2, 3, 4, 5 ).
Общие обозначения:
- ( R_{total} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 ) — общее число красных шаров,
- ( B_{total} = B_1 + B_2 + B_3 + B_4 + B_5 ) — общее число белых шаров,
- ( S_{total} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 ) — общее число синих шаров.
Условия задачи:
"Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках."
То есть, для каждого ящика ( i ):
[
S_i = B_{total} - B_i
]
"А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках."
Для каждого ящика ( i ):
[
B_i = R_{total} - R_i
]
Шаг 1: Найдём сумму ( S_i ):
Из условия 1:
[
S_i = B_{total} - B_i
]
Сложим по всем ящикам:
[
S_{total} = \sum_{i=1}^5 S_i = \sum_{i=1}^5 (B_{total} - B_i) = 5 B_{total} - B_{total} = 4 B_{total}
]
То есть,
[
\boxed{S_{total} = 4 B_{total}}
]
Шаг 2: Связь белых и красных шаров:
Из условия 2:
[
B_i = R_{total} - R_i
]
Суммируем по всем ящикам:
[
B_{total} = \sum_{i=1}^5 B_i = \sum_{i=1}^5 (R_{total} - R_i) = 5 R_{total} - R_{total} = 4 R_{total}
]
То есть,
[
\boxed{B_{total} = 4 R_{total}}
]
Шаг 3: Связь между суммами:
Из предыдущих:
[
S_{total} = 4 B_{total}
]
и
[
B_{total} = 4 R_{total}
]
следовательно:
[
S_{total} = 4 \times (4 R_{total}) = 16 R_{total}
]
Шаг 4: Весь набор данных:
Общее число шаров в ящиках:
[
T = R_{total} + B_{total} + S_{total}
]
заменяем:
[
T = R_{total} + 4 R_{total} + 16 R_{total} = (1 + 4 + 16) R_{total} = 21 R_{total}
]
Шаг 5: Условие о числе шаров:
Из условия известно, что общее число шаров ( T ) — чётное, больше 50 и меньше 100.
Так как ( T = 21 R_{total} ), то ( R_{total} ) — целое число.
Из этого:
[
T \in (50, 100) \implies 21 R_{total} \in (50, 100)
]
Поэтому:
[
\frac{50}{21} < R_{total} < \frac{100}{21}
]
чём приблизительно:
[
2.38 < R_{total} < 4.76
]
Значит, возможные целые значения:
[
R_{total} = 3 \text{ или } 4
]
Проверим оба варианта:
Если ( R_{total} = 3 ), то:
[
T = 21 \times 3 = 63
]
— подходит по условию (четное? — нет, 63 — нечётное). Не подходит.
Если ( R_{total} = 4 ), то:
[
T = 21 \times 4 = 84
]
— подходит по условию (четное? — да, 84 — чётное, больше 50, меньше 100).
Итак, искомое общее число шаров:
[
\boxed{ \boxed{84} }
]
Итог:
В ящиках всего 84 шара.
