Постройте график функции у = x² - 4х - 5. Найдите промежутки, на которых у > 0.

Давайте подробно разберём задание по построению графика функции \( y = x^2 - 4x - 5 \) и найду промежутки, на которых \( y > 0 \).

Шаг 1: Виды функции и её форма

Функция \( y = x^2 - 4x - 5 \) — квадратичная, её график — парабола.

Шаг 2: Нахождение вершины параболы

Формула для вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \): \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} \]

Здесь \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -5 \).

Подставим: \[ x_{верш} = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2 \]

Найдем \( y \) в точке \( x=2 \): \[ y(2) = (2)^2 - 4 \times 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \]

Итак, вершина — это точка \( (2, -9) \), которая является минимальной точкой для этой параболы, так как \( a > 0 \).

Шаг 3: Нахождение корней уравнения \( y = 0 \)

Чтобы найти промежутки, где \( y > 0 \), нужно найти корни уравнения: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Используем формулу для решений квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим значения: \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-5)}}{2 \times 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \]

Два корня:

• \( x_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
• \( x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Шаг 4: Анализ знака функции на промежутках

Парабола направлена вверх (так как \( a=1 > 0 \)), вершина — минимальная точка.

Значит:

• для \( x < -1 \), функция \( y < 0 \)
• для \( -1 < x < 5 \), функция \( y < 0 \)
• для \( x > 5 \), функция \( y > 0 \)
• в точках \( x = -1 \) и \( x = 5 \), функция равна 0.

Но по условию нам нужно найти промежутки, где \( y > 0 \). Следовательно:

\[ \boxed{ \text{Промежуток, где } y > 0: \quad x > 5 } \]

Итог:

• График — парабола, открытая вверх.
• Вершина в точке \( (2, -9) \).
• Корни уравнения: \( x = -1 \) и \( x = 5 \).
• \( y > 0 \) при \( x > 5 \).

Если есть желание, я могу помочь построить график или объяснить более подробно любой шаг!