Постройте график функции у = x² - 4х - 5. Найдите промежутки, на которых у > 0.

Давайте подробно разберём задание по построению графика функции \( y = x^2 - 4x - 5 \) и найду промежутки, на которых \( y > 0 \). ### Шаг 1: Виды функции и её форма Функция \( y = x^2 - 4x - 5 \) — квадратичная, её график — парабола. ### Шаг 2: Нахождение вершины параболы Формула для вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \): \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -5 \). Подставим: \[ x_{верш} = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2 \] Найдем \( y \) в точке \( x=2 \): \[ y(2) = (2)^2 - 4 \times 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \] Итак, вершина — это точка \( (2, -9) \), которая является минимальной точкой для этой параболы, так как \( a > 0 \). ### Шаг 3: Нахождение корней уравнения \( y = 0 \) Чтобы найти промежутки, где \( y > 0 \), нужно найти корни уравнения: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Используем формулу для решений квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим значения: \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-5)}}{2 \times 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \] Два корня: - \( x_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) - \( x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) ### Шаг 4: Анализ знака функции на промежутках Парабола направлена вверх (так как \( a=1 > 0 \)), вершина — минимальная точка. Значит: - для \( x < -1 \), функция \( y < 0 \) - для \( -1 < x < 5 \), функция \( y < 0 \) - для \( x > 5 \), функция \( y > 0 \) - в точках \( x = -1 \) и \( x = 5 \), функция равна 0. Но по условию нам нужно найти промежутки, где \( y > 0 \). Следовательно: \[ \boxed{ \text{Промежуток, где } y > 0: \quad x > 5 } \] ### Итог: - График — парабола, открытая вверх. - Вершина в точке \( (2, -9) \). - Корни уравнения: \( x = -1 \) и \( x = 5 \). - \( y > 0 \) при \( x > 5 \). Если есть желание, я могу помочь построить график или объяснить более подробно любой шаг!