Давайте решим неравенство: (x^2 - 5x - 36 < 0).
Шаг 1. Найдём корни уравнения (x^2 - 5x - 36 = 0).
Для этого используем формулу квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a=1), (b=-5), (c=-36).
Шаг 2. Подставим значения:
[
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times (-36)}}{2 \times 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}
]
Поскольку ( - 4 \times 1 \times (-36) = +144 ), сумма под корнем:
[
25 + 144 = 169
]
Шаг 3. Найдём корни:
[
x = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{5 \pm 13}{2}
]
Образуется два корня:
[
x_1 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4
]
[
x_2 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9
]
Шаг 4. Анализируем знак выражения (x^2 - 5x - 36).
Это квадратный трёхчлен с положительным коэффициентом при (x^2), значит его график — парабола, открытая вверх.
Корни — это точки пересечения с осью (x):
- Значение выражения равно 0 при (x = -4) и (x=9).
- В интервале между корнями, так как парабола открыта вверх, выражение будет отрицательным.
- За пределами корней — положительным.
Шаг 5. Итог.
Поскольку нас интересует неравенство (x^2 - 5x - 36 < 0):
[
x \in (-4, 9)
]
это открытый интервал.
Ответ: (\boxed{(-4, 9)})
Это всё — значения (x), при которых выражение строго меньше нуля.
