Привет! Давай вместе разберёмся с этим заданием.
Нам дано, что ( \sin \alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{7} ), и что угол ( \alpha ) находится в третьей четверти системы координат. В третьей четверти косинус угла отрицательный, так же как и синус.
Для нахождения ( \cos \alpha ) воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. ]
Мы знаем значение ( \sin \alpha ), так что подставим его и найдём ( \cos \alpha ):
[ (-\frac{3\sqrt{5}}{7})^2 + \cos^2 \alpha = 1. ]
Вычислим квадрат синуса:
[ \frac{9 \cdot 5}{49} + \cos^2 \alpha = 1. ]
Упростим выражение:
[ \frac{45}{49} + \cos^2 \alpha = 1. ]
Теперь находим ( \cos^2 \alpha ):
[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{45}{49}. ]
Теперь приведем дроби к общему знаменателю:
[ \cos^2 \alpha = \frac{49}{49} - \frac{45}{49} = \frac{4}{49}. ]
Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства, чтобы найти значение косинуса:
[ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{49}} = \pm\frac{2}{7}. ]
Но поскольку угол находится в третьей четверти, где косинус отрицательный, выбираем отрицательное значение:
[ \cos \alpha = -\frac{2}{7}. ]
Вот и все. Ответ: ( -\frac{2}{7} ).
