Задание 6

Привет! Давай вместе разберёмся с этим заданием.

Нам дано, что \( \sin \alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{7} \), и что угол \( \alpha \) находится в третьей четверти системы координат. В третьей четверти косинус угла отрицательный, так же как и синус.

Для нахождения \( \cos \alpha \) воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \]

Мы знаем значение \( \sin \alpha \), так что подставим его и найдём \( \cos \alpha \): \[ (-\frac{3\sqrt{5}}{7})^2 + \cos^2 \alpha = 1. \]

Вычислим квадрат синуса: \[ \frac{9 \cdot 5}{49} + \cos^2 \alpha = 1. \]

Упростим выражение: \[ \frac{45}{49} + \cos^2 \alpha = 1. \]

Теперь находим \( \cos^2 \alpha \): \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{45}{49}. \]

Теперь приведем дроби к общему знаменателю: \[ \cos^2 \alpha = \frac{49}{49} - \frac{45}{49} = \frac{4}{49}. \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства, чтобы найти значение косинуса: \[ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{49}} = \pm\frac{2}{7}. \]

Но поскольку угол находится в третьей четверти, где косинус отрицательный, выбираем отрицательное значение: \[ \cos \alpha = -\frac{2}{7}. \]

Вот и все. Ответ: \( -\frac{2}{7} \).