Давайте решим задачу пошагово.
Задача:
Дано два числа, при делении на 7 дающие остатки 3 и 5 соответственно. Нужно найти остаток от деления их произведения на 7.
Обозначим:
Пусть первое число — (a), второе число — (b).
Тогда по условию:
[ a \equiv 3 \pmod{7} ]
[ b \equiv 5 \pmod{7} ]
Нам нужно найти ( (a \times b) \bmod 7 ).
Шаг 1: Используем свойства остатков (конгруэнций)
Из свойств деления по модулю известно, что:
[
(a \times b) \bmod 7 = [(a \bmod 7) \times (b \bmod 7)] \bmod 7
]
То есть, достаточно перемножить остатки и взять остаток от деления результата на 7.
Шаг 2: Подставим значения:
[
(3 \times 5) \bmod 7
]
Вычислим:
[
3 \times 5 = 15
]
Теперь найдём остаток от деления 15 на 7:
[
15 \div 7 = 2 \text{ (целых части)} \quad \text{остаток } 1
]
или кратко:
[
15 \equiv 1 \pmod{7}
]
Ответ:
Остаток от деления произведения этих чисел на 7 равен (\boxed{1}).
