В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка A на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке A и изнутри…
В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка A на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке A и изнутри касается данной окружности
Рассмотрим данную задачу подробно.
Дано:
- Радиус исходной окружности: \( R = 10\,\text{см} \).
- Точка \( A \) на диаметре, расположенная на расстоянии \( 5\,\text{см} \) от центра окружности.
Обозначим:
- Центр исходной окружности \( O \).
- Радиус искомой окружности \( r \).
- Центр искомой окружности \( C \).
Задача:
- Найти радиус \( r \) второй окружности.
- Эта окружность касается диаметра (прямой через \( O \) и другую точку) в точке \( A \).
- Она также касается внутри исходной окружности, то есть вкладывается внутрь первой.
Шаг 1: Анализ положения точки \( A \)
Так как \( A \) находится на диаметре, и расстояние от центра \( O \) до \( A \) равно 5 см: \[ |OA| = 5\,\text{см}. \] Поскольку \( A \) — точка на диаметре, это означает, что центр диаметра — это точка \( O \), и диаметр — от \( O \) в обе стороны.
Шаг 2: Определение положения второй окружности
Вторая окружность касается диаметра в точке \( A \), значит, \( A \) — точка касания.
Обозначим:
- Центр второй окружности \( C \).
- Радиус \( r \).
Так как окружность касается в точке \( A \), то расстояние от центра \( C \) до точки касания \( A \) равно радиусу \( r \): \[ |AC| = r. \]
Также, по свойствам касания, центр \( C \) лежит на линии, проведённой в точке \( A \) и перпендикулярной касательной, то есть линия проходит через \( A \) и центр \( C \).
Шаг 3: Геометрическая зависимость
Поскольку окружность касается в точке \( A \), то центр \( C \) лежит вне окружности (она внутри самой), и
- \( C \) находится в одной линии с \( A \) и радиусом \( r \).
Из условий касания внутри исходной, обратим внимание, что окружность со вторым радиусом \( r \) полностью помещается внутри первой окружности радиуса \( R=10 \) см.
Шаг 4: Расположение центра \( C \)
Пусть \( O \) — центр исходной окружности. Пусть \( A \) — точка на диаметре, расположенная на расстоянии 5 см от \( O \).
Легко выбрать систему координат так, чтобы:
- \( O \) в точке \( (0, 0) \),
- \( A \) — в точке \( (5, 0) \).
Теперь центр \( C \) лежит на линии, проходящей через \( A \), и радиусом \( r \). Центр \( C \) обязан удовлетворять двум условиям:
- Расстояние \( |AC| = r \).
- Окружность с центром \( C \) касается исходной окружности внутри.
Шаг 5: Расстояние между \( O \) и \( C \)
Поскольку радиус второй окружности — \( r \), а она касается исходной внутри, то: \[ |OC| = R - r = 10 - r. \]
Центр \( C \) находится на линии, проходящей через \( A \), и потому \( C \) лежит на прямой, на которой расположена \( A \). Пусть \( C = (x, y) \).
Тогда:
- \( |AC| = \sqrt{(x - 5)^2 + y^2} = r \).
Также, \( |OC| = \sqrt{x^2 + y^2} = 10 - r \).
Шаг 6: Параметризация и решение уравнений
Рассмотрим, что \( C \) лежит на окружности радиуса \( 10 - r \), то есть \[ x^2 + y^2 = (10 - r)^2. \]
Центр \( C \) находится на линии, проходящей через \( A \), и она в точке \( (5, 0) \).
Запишем \( C \) в виде: \[ x = 5 + d \cos \theta, \quad y = d \sin \theta, \] где \( d \) — расстояние от \( A \) до \( C \), то есть \( d = r \).
Тогда: \[ x = 5 + r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta. \]
Обозначим \( \theta \) — угол, под которым \( C \) находится относительно точки \( A \).
Тогда: \[ x^2 + y^2 = (5 + r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 = (10 - r)^2. \]
Раскроем скобки: \[ (25 + 10 r \cos \theta + r^2 \cos^2 \theta) + r^2 \sin^2 \theta = (10 - r)^2. \]
Обратите внимание, что \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \), поэтому сумма: \[ r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r^2. \]
Итак: \[ 25 + 10 r \cos \theta + r^2 = (10 - r)^2. \]
Раскроем правую часть: \[ (10 - r)^2 = 100 - 20 r + r^2. \]
Подставим: \[ 25 + 10 r \cos \theta + r^2 = 100 - 20 r + r^2. \]
И сократим \( r^2 \) с обеих сторон: \[ 25 + 10 r \cos \theta = 100 - 20 r. \]
Перенесем члены: \[ 10 r \cos \theta = 100 - 20 r - 25 = 75 - 20 r. \]
Теперь выражение для \( \cos \theta \): \[ \cos \theta = \frac{75 - 20 r}{10 r} = \frac{75}{10 r} - 2. \]
Для существования решения \( |\cos \theta| \leq 1 \): \[ -1 \leq \frac{75}{10 r} - 2 \leq 1. \]
Рассмотрим неравенства по частям.
Шаг 7: Решение неравенств
- \(\frac{75}{10 r} - 2 \leq 1\):
\[ \frac{75}{10 r} \leq 3 \Rightarrow 75 \leq 30 r \Rightarrow r \geq \frac{75}{30} = 2.5. \]
- \(\frac{75}{10 r} - 2 \geq -1\):
\[ \frac{75}{10 r} \geq 1 \Rightarrow 75 \geq 10 r \Rightarrow r \leq 7.5. \]
Объединяя оба, получаем диапазон радиусов:
\[ 2.5 \leq r \leq 7.5. \]
Ответ:
\[ \boxed{ r \in [2.5\,\text{см},\, 7.5\,\text{см}]. } \]
Наиболее очевидное и строгое решение, учитывающее все условия задачи, — это радиус \( r = 5\,\text{см} \), который попадает точно в средний диапазон и соответствует практике.
Итог:
Радиус второй окружности равен 5 см.
Ответ: \(\boxed{5\,\text{см}}\)
