Задумали нечётное трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 17. Из нето вычли хзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 198. ое число было задумано?

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый шаг. **Задача:** Задумано трёхзначное число, которое: - нечётное, - меньше 500, - делится на 17. Из этого числа вычли число, полученное теми же цифрами, но в обратном порядке. В результате получили число 198. Нужно найти исходное число. --- ### Шаг 1. Обозначим исходное число Пусть цифры исходного трёхзначного числа: \[ A, B, C \] — сотни, десятки, единицы соответственно. Тогда число: \[ N = 100A + 10B + C \] Поскольку число: - нечётное, значит последняя цифра \( C \) — нечётная: \( C \in \{1,3,5,7,9\} \), - меньше 500, значит \( A \in \{1,2,3,4\} \), - делится на 17. --- ### Шаг 2. Запишем условие вычитания Обратное число: \[ N' = 100C + 10B + A \] По условию: \[ N - N' = 198 \] Подставим выражения: \[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 198 \] --- ### Шаг 3. Упростим уравнение Раскроем скобки: \[ 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 198 \] Обратите внимание, что \( 10B \) и \(-10B \) сократятся: \[ 100A + C - 100C - A = 198 \] Объединим подобные: \[ (100A - A) + (C - 100C) = 198 \] \[ 99A - 99C = 198 \] Можно вынести \( 99 \): \[ 99(A - C) = 198 \] Делим обе части на 99: \[ A - C = \frac{198}{99} = 2 \] --- ### Шаг 4. Получили соотношение для цифр \[ A - C = 2 \] Так как: - \( A \in \{1,2,3,4\} \), - \( C \in \{1,3,5,7,9\} \), - и \( C \) — эта цифра нечётная, присмотримся к возможным сочетаниям. --- ### Шаг 5. Перебор возможных вариантов Поскольку \( A - C = 2 \), - если \( A=2 \), то \( C=0 \), но \( C \) — не может быть 0, так как цифра в конце числа, число — трехзначное, и оно нечётное, следовательно \( C \) — нечётная. 0 — не подходит, - если \( A=3 \), то \( C=1 \), - если \( A=4 \), то \( C=2 \), а 2 — чётное, значит не подходит, поскольку \( C \) — нечётная. Итак, из этого остаётся единственный вариант: \[ A=3, \ C=1 \] --- ### Шаг 6. Проверка делимости исходного числа Дано, что число делится на 17. Мы знаем, что \( A=3 \), \( C=1 \), а знак между \( A \) и \( C \) известен: \[ N = 100A + 10B + C = 300 + 10B + 1 = 301 + 10B \] Значения \( B \) — цифра от 0 до 9. Проверим, для какого \( B \) число \( N \) делится на 17: \[ N = 301 + 10B \] Подставим возможные \( B \): \[ 301 + 10B \equiv 0 \ (\text{по модулю 17}) \] --- ### Шаг 7. Проверка делимости Модуль 17: \[ 301 + 10B \equiv 0 \ (\text{mod } 17) \] Рассчитаем \( 301 \pmod{17} \): \[ 17 \times 17 = 289 \] \[ 301 - 289 = 12 \] Значит: \[ 301 \equiv 12 \ (\text{mod } 17) \] Теперь уравнение: \[ 12 + 10B \equiv 0 \ (\text{mod } 17) \] Исключаем \( B \): \[ 10B \equiv -12 \ (\text{mod } 17) \] Так как \(-12 \equiv 17 - 12 = 5\), \[ 10B \equiv 5 \ (\text{mod } 17) \] --- ### Шаг 8. Решение для \( B \) Нам нужно найти \( B \), для которого: \[ 10B \equiv 5 \ (\text{mod } 17) \] Обозначим: \[ 10B \equiv 5 \ (\text{mod } 17) \] Найдём обратное к 10 по модулю 17. Пусть \( x \) — обратное число к 10, такое что: \[ 10x \equiv 1 \ (\text{mod } 17) \] Пробуем небольшие значения: - \( 10 \times 12 = 120 \equiv 120 - 119 = 1 \ (\text{mod } 17) \), поскольку \( 17 \times 7 = 119 \) Значит, обратное к 10 — это 12. Теперь умножим обе части уравнения на 12: \[ B \equiv 5 \times 12 \ (\text{mod } 17) \] \[ B \equiv 60 \ (\text{mod } 17) \] \[ 17 \times 3 = 51 \] \[ 60 - 51 = 9 \] Следовательно: \[ B \equiv 9 \ (\text{mod } 17) \] Поскольку \( B \) — цифра от 0 до 9, единственное значение — 9. --- ### Шаг 9. Итоговые цифры и проверка Итак, \[ A=3, \quad B=9, \quad C=1 \]. И исходное число: \[ N = 100 \times 3 + 10 \times 9 + 1 = 300 + 90 + 1 = 391 \]. --- ### Шаг 10. Проверка условий - **Нечётное?** Да, 391 — нечётное. - **Меньше 500?** Да, 391 < 500. - **Делится на 17?** Проверим: \[ 391 \div 17 \] \[ 17 \times 23 = 391 \] Да, делится на 17. - **Что получилось при вычитании?** Обратное число: \[ N' = 100 \times 1 + 10 \times 9 + 3 = 100 + 90 + 3 = 193 \] Вычитаем: \[ N - N' = 391 - 193 = 198 \], что соответствует условию. --- ## Итог: **Задумано число — 391.**