Задумали нечётное трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 17. Из нето вычли хзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 198. ое число…
Задумали нечётное трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 17. Из нето вычли хзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 198. ое число было задумано?
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый шаг.
Задача:
Задумано трёхзначное число, которое:
- нечётное,
- меньше 500,
- делится на 17.
Из этого числа вычли число, полученное теми же цифрами, но в обратном порядке. В результате получили число 198. Нужно найти исходное число.
Шаг 1. Обозначим исходное число
Пусть цифры исходного трёхзначного числа:
\[ A, B, C \] — сотни, десятки, единицы соответственно.
Тогда число:
\[ N = 100A + 10B + C \]
Поскольку число:
- нечётное, значит последняя цифра \( C \) — нечётная: \( C \in \{1,3,5,7,9\} \),
- меньше 500, значит \( A \in \{1,2,3,4\} \),
- делится на 17.
Шаг 2. Запишем условие вычитания
Обратное число:
\[ N' = 100C + 10B + A \]
По условию:
\[ N - N' = 198 \]
Подставим выражения:
\[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 198 \]
Шаг 3. Упростим уравнение
Раскроем скобки:
\[ 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 198 \]
Обратите внимание, что \( 10B \) и \(-10B \) сократятся:
\[ 100A + C - 100C - A = 198 \]
Объединим подобные:
\[ (100A - A) + (C - 100C) = 198 \]
\[ 99A - 99C = 198 \]
Можно вынести \( 99 \):
\[ 99(A - C) = 198 \]
Делим обе части на 99:
\[ A - C = \frac{198}{99} = 2 \]
Шаг 4. Получили соотношение для цифр
\[ A - C = 2 \]
Так как:
- \( A \in \{1,2,3,4\} \),
- \( C \in \{1,3,5,7,9\} \),
- и \( C \) — эта цифра нечётная,
присмотримся к возможным сочетаниям.
Шаг 5. Перебор возможных вариантов
Поскольку \( A - C = 2 \),
- если \( A=2 \), то \( C=0 \), но \( C \) — не может быть 0, так как цифра в конце числа, число — трехзначное, и оно нечётное, следовательно \( C \) — нечётная. 0 — не подходит,
- если \( A=3 \), то \( C=1 \),
- если \( A=4 \), то \( C=2 \), а 2 — чётное, значит не подходит, поскольку \( C \) — нечётная.
Итак, из этого остаётся единственный вариант:
\[ A=3, \ C=1 \]
Шаг 6. Проверка делимости исходного числа
Дано, что число делится на 17.
Мы знаем, что \( A=3 \), \( C=1 \), а знак между \( A \) и \( C \) известен:
\[ N = 100A + 10B + C = 300 + 10B + 1 = 301 + 10B \]
Значения \( B \) — цифра от 0 до 9.
Проверим, для какого \( B \) число \( N \) делится на 17:
\[ N = 301 + 10B \]
Подставим возможные \( B \):
\[ 301 + 10B \equiv 0 \ (\text{по модулю 17}) \]
Шаг 7. Проверка делимости
Модуль 17:
\[ 301 + 10B \equiv 0 \ (\text{mod } 17) \]
Рассчитаем \( 301 \pmod{17} \):
\[ 17 \times 17 = 289 \]
\[ 301 - 289 = 12 \]
Значит:
\[ 301 \equiv 12 \ (\text{mod } 17) \]
Теперь уравнение:
\[ 12 + 10B \equiv 0 \ (\text{mod } 17) \]
Исключаем \( B \):
\[ 10B \equiv -12 \ (\text{mod } 17) \]
Так как \(-12 \equiv 17 - 12 = 5\),
\[ 10B \equiv 5 \ (\text{mod } 17) \]
Шаг 8. Решение для \( B \)
Нам нужно найти \( B \), для которого:
\[ 10B \equiv 5 \ (\text{mod } 17) \]
Обозначим:
\[ 10B \equiv 5 \ (\text{mod } 17) \]
Найдём обратное к 10 по модулю 17.
Пусть \( x \) — обратное число к 10, такое что:
\[ 10x \equiv 1 \ (\text{mod } 17) \]
Пробуем небольшие значения:
- \( 10 \times 12 = 120 \equiv 120 - 119 = 1 \ (\text{mod } 17) \), поскольку \( 17 \times 7 = 119 \)
Значит, обратное к 10 — это 12.
Теперь умножим обе части уравнения на 12:
\[ B \equiv 5 \times 12 \ (\text{mod } 17) \]
\[ B \equiv 60 \ (\text{mod } 17) \]
\[ 17 \times 3 = 51 \]
\[ 60 - 51 = 9 \]
Следовательно:
\[ B \equiv 9 \ (\text{mod } 17) \]
Поскольку \( B \) — цифра от 0 до 9, единственное значение — 9.
Шаг 9. Итоговые цифры и проверка
Итак,
\[ A=3, \quad B=9, \quad C=1 \].
И исходное число:
\[ N = 100 \times 3 + 10 \times 9 + 1 = 300 + 90 + 1 = 391 \].
Шаг 10. Проверка условий
- Нечётное? Да, 391 — нечётное.
- Меньше 500? Да, 391 < 500.
- Делится на 17? Проверим:
\[ 391 \div 17 \]
\[ 17 \times 23 = 391 \]
Да, делится на 17.
- Что получилось при вычитании?
Обратное число:
\[ N' = 100 \times 1 + 10 \times 9 + 3 = 100 + 90 + 3 = 193 \]
Вычитаем:
\[ N - N' = 391 - 193 = 198 \], что соответствует условию.
Итог:
Задумано число — 391.
