найти значение выражения b-⁵(b²)⁷/b²⁰•(-²)3 при b= 3-¹
Давайте подробно решим данное выражение и объясним каждый шаг.
Задача:
Найти значение выражения:
\[ \frac{b - 5 \left( b^2 \right)^7}{b^{20} \cdot (-2)^3} \quad \text{при} \quad b = 3^{-1} \]
Шаг 1. Подставим значение \(b = 3^{-1}\)
Помним, что \(3^{-1} = \frac{1}{3}\).
Шаг 2. Упростим выражение
Рассмотрим каждую часть отдельно.
Шаг 3. Упростим выражение в числителе: \(b - 5 (b^2)^7\)
- \( (b^2)^7 = b^{2 \cdot 7} = b^{14} \)
- Тогда числитель: \(b - 5b^{14}\)
Шаг 4. Упростим выражение в знаменателе: \(b^{20} \cdot (-2)^3\)
- \((-2)^3 = -8\)
- Итак, знаменатель: \(b^{20} \cdot (-8)\)
Шаг 5. Запишем итоговое выражение:
\[ \frac{b - 5b^{14}}{b^{20} \cdot (-8)} \]
или
\[ \frac{b - 5b^{14}}{-8 b^{20}} \]
Шаг 6. Подставим \(b = \frac{1}{3}\):
- \(b = \frac{1}{3}\)
- \(b^{14} = \left(\frac{1}{3}\right)^{14}\)
- \(b^{20} = \left(\frac{1}{3}\right)^{20}\)
Шаг 7. Вычислим числитель:
\[ b - 5b^{14} = \frac{1}{3} - 5 \left( \frac{1}{3} \right)^{14} \]
Обозначим это далее.
Шаг 8. Вычислим знаменатель:
\[ -8 \left( \frac{1}{3} \right)^{20} \]
Шаг 9. Объединим всё и упростим
Запишем выражение:
\[ \frac{\frac{1}{3} - 5 \left( \frac{1}{3} \right)^{14}}{-8 \left( \frac{1}{3} \right)^{20}} \]
Шаг 10. Вынесем общий множитель
Обратим внимание, что \(\left(\frac{1}{3}\right)^{14}\) и \(\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\) можно связать через деление:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{14} = \left(\frac{1}{3}\right)^{14} \]
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{20} = \left(\frac{1}{3}\right)^{14} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^6 \]
Шаг 11. Упростим числитель:
\[ \frac{1}{3} - 5 \left( \frac{1}{3} \right)^{14} \]
Можно оставить так или представить как:
\[ \text{числитель} = A - B, \quad \text{где } A = \frac{1}{3}, \quad B = 5 \left(\frac{1}{3}\right)^{14} \]
Шаг 12. Разделим всё выражение на \(\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\):
Запишем:
\[ \frac{\frac{1}{3} - 5 \left(\frac{1}{3}\right)^{14}}{-8 \left(\frac{1}{3}\right)^{20}} = \frac{\left(\frac{1}{3} - 5 \left(\frac{1}{3}\right)^{14}\right)}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} \cdot \frac{1}{-8} \]
Шаг 13. Упростим дробь:
\[ \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} - 5 \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{14}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} \] все делим на \(-8\)
Это будет:
\[ \left( \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} - 5 \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{14}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} \right) \times \frac{1}{-8} \]
Шаг 14. Посчитаем каждое:
\[ \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} = \frac{(1/3)}{(1/3)^{20}} = (1/3) \times (3/1)^{20} = (1/3) \times 3^{20} \]
Потому что \(\frac{1}{(1/3)^{20}} = (3)^{20}\).
Аналогично,
\[ 5 \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{14}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} = 5 \times \left(\frac{1/3}{1/3}\right)^{14 - 20} = 5 \times \left( \frac{1/3}{1/3} \right)^{-6} = 5 \times (1)^{-6} = 5 \]
Потому что \(\left(\frac{1/3}{1/3}\right)^{\text{любой показатель}} = 1^{\text{любой показатель}}=1\).
Шаг 15. Получили:
Первый член: \((1/3) \times 3^{20} = \frac{1}{3} \times 3^{20} = 3^{20} / 3 = 3^{19}\)
Второй член: \(5\)
Итак, числитель после деления:
\[ 3^{19} - 5 \]
Общий результат — делим это на \(-8\):
\[ \frac{3^{19} - 5}{-8} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{3^{19} - 5}{-8} } \]
или, если убрать минус из знаменателя:
\[ -\frac{3^{19} - 5}{8} \]
Если нужно, я могу помочь вычислить числовое значение, но проще оставить в виде выражения.
