Найти значение выражения b-⁵(b²)⁷/b²⁰•(-²)3 при b= 3-¹

Давайте подробно решим данное выражение и объясним каждый шаг. **Задача:** Найти значение выражения: \[ \frac{b - 5 \left( b^2 \right)^7}{b^{20} \cdot (-2)^3} \quad \text{при} \quad b = 3^{-1} \] --- ### Шаг 1. Подставим значение \(b = 3^{-1}\) Помним, что \(3^{-1} = \frac{1}{3}\). --- ### Шаг 2. Упростим выражение Рассмотрим каждую часть отдельно. --- ### Шаг 3. Упростим выражение в числителе: \(b - 5 (b^2)^7\) - \( (b^2)^7 = b^{2 \cdot 7} = b^{14} \) - Тогда числитель: \(b - 5b^{14}\) --- ### Шаг 4. Упростим выражение в знаменателе: \(b^{20} \cdot (-2)^3\) - \((-2)^3 = -8\) - Итак, знаменатель: \(b^{20} \cdot (-8)\) --- ### Шаг 5. Запишем итоговое выражение: \[ \frac{b - 5b^{14}}{b^{20} \cdot (-8)} \] или \[ \frac{b - 5b^{14}}{-8 b^{20}} \] --- ### Шаг 6. Подставим \(b = \frac{1}{3}\): - \(b = \frac{1}{3}\) - \(b^{14} = \left(\frac{1}{3}\right)^{14}\) - \(b^{20} = \left(\frac{1}{3}\right)^{20}\) --- ### Шаг 7. Вычислим числитель: \[ b - 5b^{14} = \frac{1}{3} - 5 \left( \frac{1}{3} \right)^{14} \] Обозначим это далее. --- ### Шаг 8. Вычислим знаменатель: \[ -8 \left( \frac{1}{3} \right)^{20} \] --- ### Шаг 9. Объединим всё и упростим Запишем выражение: \[ \frac{\frac{1}{3} - 5 \left( \frac{1}{3} \right)^{14}}{-8 \left( \frac{1}{3} \right)^{20}} \] --- ### Шаг 10. Вынесем общий множитель Обратим внимание, что \(\left(\frac{1}{3}\right)^{14}\) и \(\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\) можно связать через деление: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{14} = \left(\frac{1}{3}\right)^{14} \] \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{20} = \left(\frac{1}{3}\right)^{14} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^6 \] --- ### Шаг 11. Упростим числитель: \[ \frac{1}{3} - 5 \left( \frac{1}{3} \right)^{14} \] Можно оставить так или представить как: \[ \text{числитель} = A - B, \quad \text{где } A = \frac{1}{3}, \quad B = 5 \left(\frac{1}{3}\right)^{14} \] --- ### Шаг 12. Разделим всё выражение на \(\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\): Запишем: \[ \frac{\frac{1}{3} - 5 \left(\frac{1}{3}\right)^{14}}{-8 \left(\frac{1}{3}\right)^{20}} = \frac{\left(\frac{1}{3} - 5 \left(\frac{1}{3}\right)^{14}\right)}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} \cdot \frac{1}{-8} \] --- ### Шаг 13. Упростим дробь: \[ \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} - 5 \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{14}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} \] все делим на \(-8\) Это будет: \[ \left( \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} - 5 \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{14}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} \right) \times \frac{1}{-8} \] --- ### Шаг 14. Посчитаем каждое: \[ \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} = \frac{(1/3)}{(1/3)^{20}} = (1/3) \times (3/1)^{20} = (1/3) \times 3^{20} \] Потому что \(\frac{1}{(1/3)^{20}} = (3)^{20}\). Аналогично, \[ 5 \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{14}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{20}} = 5 \times \left(\frac{1/3}{1/3}\right)^{14 - 20} = 5 \times \left( \frac{1/3}{1/3} \right)^{-6} = 5 \times (1)^{-6} = 5 \] Потому что \(\left(\frac{1/3}{1/3}\right)^{\text{любой показатель}} = 1^{\text{любой показатель}}=1\). --- ### Шаг 15. Получили: - Первый член: \((1/3) \times 3^{20} = \frac{1}{3} \times 3^{20} = 3^{20} / 3 = 3^{19}\) - Второй член: \(5\) Итак, числитель после деления: \[ 3^{19} - 5 \] Общий результат — делим это на \(-8\): \[ \frac{3^{19} - 5}{-8} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{3^{19} - 5}{-8} } \] или, если убрать минус из знаменателя: \[ -\frac{3^{19} - 5}{8} \] --- Если нужно, я могу помочь вычислить числовое значение, но проще оставить в виде выражения.