Давайте обозначим группы студентов следующими буквами:
- ( R ) — студенты, сдавшие русский язык
- ( M ) — студенты, сдавшие математику
- ( L ) — студенты, сдавшие литературу
Из условия имеем:
[
|R| = 48, \quad |M| = 42, \quad |L| = 37
]
[
|R \cup M| = 76, \quad |R \cup L| = 76, \quad |M \cup L| = 66
]
[
|R \cap M \cap L| = 5
]
Шаг 1: Найдём сумму по двойным пересечениям
Используем формулу для объединения двух множеств:
[
|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
]
Отсюда выразим пересечения двух множеств:
[
|R \cup M| = |R| + |M| - |R \cap M| \Rightarrow 76 = 48 + 42 - |R \cap M|
]
[
|R \cap M| = 48 + 42 - 76 = 90 - 76 = 14
]
Аналогично для других пар:
[
|R \cup L| = |R| + |L| - |R \cap L| \Rightarrow 76 = 48 + 37 - |R \cap L|
]
[
|R \cap L| = 48 + 37 - 76 = 85 - 76 = 9
]
И для ( M \cup L ):
[
|M \cup L| = |M| + |L| - |M \cap L| \Rightarrow 66 = 42 + 37 - |M \cap L|
]
[
|M \cap L| = 79 - 66 = 13
]
Шаг 2: Найдём количество студентов, сдавших хотя бы один экзамен
Формула для количества студентов, сдавших хотя бы один экзамен:
[
|R \cup M \cup L| = |R| + |M| + |L| - |R \cap M| - |R \cap L| - |M \cap L| + |R \cap M \cap L|
]
Подставим известные значения:
[
|R \cup M \cup L| = 48 + 42 + 37 - 14 - 9 - 13 + 5
]
[
= (48 + 42 + 37) - (14 + 9 + 13) + 5
]
[
= 127 - 36 + 5 = 127 - 36 + 5 = 96
]
Ответ: (\boxed{96}) человек сдали хотя бы один экзамен.
Шаг 3: Найдём количество студентов, не сдавших ни одного экзамена
Общее число студентов — 100, значит:
[
\text{Студентов, не сдавших ни одного экзамена} = 100 - |R \cup M \cup L| = 100 - 96 = 4
]
Ответ: (\boxed{4}) человека не сдали ни одного экзамена.
Шаг 4: Найдём количество студентов, сдавших только один экзамен по литературе
Те, кто сдавали только литературу, это:
[
|L \text{ только}| = |L| - \text{(сдали вместе с другими)}
]
Т.к. в пересечениях есть студенты, сдававшие несколько предметов, то количество студентов, сдававших только литературу:
[
|L \text{ только}| = |L| - |L \cap R| - |L \cap M| + |R \cap M \cap L|
]
Обратите внимание, что при подсчёте нужно компенсировать тех, кто сдавал все три предмета — их добавляем обратно, чтобы не считать их дважды.
Подставим значения:
[
|L \text{ только}| = 37 - 9 - 13 + 5 = (37 - 9 - 13) + 5 = 15 + 5 = 20
]
Ответ: (\boxed{20}) человек сдали только экзамен по литературе.
Итог:
| Вопрос |
Ответ |
| Сколько человек сдали хотя бы один экзамен? |
96 |
| Сколько человек не сдали ни одного экзамена? |
4 |
| Сколько человек сдали только один экзамен по литературе? |
20 |
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами — обращайтесь!
