Периметр треугольника ABc равен 42 см. На сторонах AC и BC треугольника взяты соответственно точки D и F, AD = FB и DC - CF. Из точек D и F на сторону AB опущены перпендикуляры DE…

Давайте разобьём задачу на части и последовательно разберём каждую информацию и предположения, чтобы понять, что именно требуется найти и каким образом.

Входные данные:

• Периметр треугольника \( ABC \) равен 42 см:
  \[ AB + BC + AC = 42 \]
• На сторонах \( AC \) и \( BC \) взяты точки \( D \) и \( F \) соответственно: \[ D \in AC, \quad F \in BC \]
• Исполняются условия:
  \[ AD = FB \quad \text{и} \quad DC = CF \]
• Из точек \( D \) и \( F \) проведены перпендикуляры \( DE \) и \( FM \) на сторону \( AB \).
• Известные стороны:
  \[ AC = 15 \quad \text{и} \quad MB = 3 \] Замечу, что, вероятно, опечатка: в условии указано "MB", а, скорее всего, имеется в виду "BC", ведь "MB" в других условиях не встречается.
• Нужно найти значения отрезков \( AB \) и \( EM \).

Ответственные пункты:

Задача финальна:
Каким является длина отрезка \( AB \) и \( EM \)? Также предлагается выбрать верное утверждение из списка:

• \( EDA = MFB \)
• \( CF = AE \)
• \( ED = 2FM \)
• \( BFM = ACB \)

---

Анализ условий

1. Периметр:

\[ AB + BC + AC = 42 \] Известно \( AC = 15 \). Если предположить, что \( BC \) — это то, что имелось в виду, —
и назовём \( BC = x \), тогда:

\[ AB + x + 15 = 42 \quad \Rightarrow \quad AB + x = 27 \]

2. Точки \( D \) и \( F \):

• \( D \in AC \), делит сторону \( AC \),
• \( F \in BC \).

Условия: \[ AD = FB, \quad DC = CF \]

Это выглядит как условия равенства определенных сегментов.

• \( AD + DC = AC = 15 \),
• \( FB + CF = BC = x \).

Также дано, что \( AD = FB \), обозначим это равенство за \( k \):

\[ AD = FB = k \] Следовательно,

\[ DC = CF \quad \Rightarrow \quad 15 - AD = x - FB \] иначе, \[ DC = 15 - AD = 15 - k \] и \[ CF = x - FB = x - k \] Поскольку \( DC = CF \), \[ 15 - k = x - k \quad \Rightarrow \quad 15 = x \]

Отсюда: \[ x = BC = 15 \]

Теперь, зная \( BC = 15 \):

\[ AB + 15 = 27 \quad \Rightarrow \quad AB = 12 \]

Итак, площадь вычислений говорит, что:

Длина стороны \( AB = 12 \) см.

---

Изучение деталей о перпендикулярах и точках \( E \), \( M \):

• Из точки \( D \) опущен перпендикуляр \( DE \) на \( AB \),
• Из точки \( F \) — перпендикуляр \( FM \) на \( AB \).

Полагаем, что \( E \) и \( M \) — основания перпендикуляров.

Также известно, что из точки \( F \) на стороне \( AB \) опущена перпендикуляр \( FM \).

В условии заявлено \( MB = 3 \), и, скорее всего, имеется в виду, что \( M \) — форма точки на \( AB \) с помощью перпендикуляра от \( F \).

---

Проверка вопросов:

• Вычислить \( AB \) — мы нашли: 12 см.
• Какова длина \( EM \)?

Обозначим:

Что известно?	Как использовать?
\( AC = 15 \), \( BC = 15 \), \( AB = 12 \)	Это стороны, позволяющие понять расположение точки \( D \), \( F \).
Перпендикуляры \( DE \) и \( FM \).	Их длины и соотношения важны для вычислений, особенно, если есть равенство или пропорциональность.

---

Теперь рассмотрим утверждения:

1. \( EDA = MFB \) — возможно, речь идет о равенстве углов или сегментов.
2. \( CF = AE \) — равенство отрезков, возможно, аналогичные по длине и расположенные.
3. \( ED = 2FM \) — соотношение длин перпендикуляров.
4. \( BFM = ACB \) — возможно, сравниваются углы \( \angle BFM \) и \( \angle ACB \).

---

Итог:

На основе проведённых рассуждений, я могу сделать вывод:

• Длина \( AB = 12 \) см.
• Длина \( EM \) — скорее всего, связана с перпендикулярами \( DE \) и \( FM \).

---

Вариант ответов:

Наиболее логичное утверждение при указанных данных —
"ED = 2FM" — потому что часто в задачах со сравнением перпендикуляров имеется удвоение.

Итак и финальный ответ:

Ответ: \( AB = 12 \) см, \( EM \) — так как \( M \) — основание перпендикуляра \( FM \), скорее всего, равно \( 3 \) (из условия). В рамках этой задачи, наиболее вероятное правильное утверждение — "ED = 2FM".

---

Если хотите, я могу дополнительно уточнить или рассчитать \( EM \) при конкретных расположениях точек.