реши систему уравнения: 5y+8(x-9y) =7x-12 9x+3(x-9y) =11y+46
Давайте внимательно решим систему уравнений:
- \( 5y + 8(x - 9y) = 7x - 12 \)
- \( 9x + 3(x - 9y) = 11y + 46 \)
Шаг 1: Раскроем скобки в каждом уравнении
Для уравнения (1):
\[ 5y + 8x - 72y = 7x - 12 \]
Объединим подобные члены:
\[ (5y - 72y) + 8x = 7x - 12 \] \[ -67y + 8x = 7x - 12 \]
Для уравнения (2):
\[ 9x + 3x - 27y = 11y + 46 \]
Объединим подобные члены:
\[ 12x - 27y = 11y + 46 \]
Шаг 2: Перенесем все с одинаковыми переменными слева, остальные — справа
Первое уравнение:
\[ -67y + 8x = 7x - 12 \]
Вычтем \(7x\) из обеих частей:
\[ -67y + 8x - 7x = -12 \] \[ -67y + x = -12 \]
Второе уравнение:
\[ 12x - 27y = 11y + 46 \]
Вычтем \(11y\) из обеих частей:
\[ 12x - 27y - 11y = 46 \] \[ 12x - 38y = 46 \]
Теперь у нас система:
\[ \begin{cases} x - 67y = -12 \quad (1) \\ 12x - 38y = 46 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 3: Решим систему уравнений (1) и (2)
Из уравнения (1):
\[ x = -12 + 67y \]
Подставим в уравнение (2):
\[ 12(-12 + 67y) - 38y = 46 \]
Раскроем скобки:
\[ -144 + 804y - 38y = 46 \]
Объединим подобные:
\[ -144 + 766y = 46 \]
Добавим 144 к обеим частям:
\[ 766y = 46 + 144 = 190 \]
Найдём \( y \):
\[ y = \frac{190}{766} \]
Сократим дробь:
\[ 190 = 2 \times 95 \] \[ 766 = 2 \times 383 \]
Следовательно,
\[ y = \frac{95}{383} \]
Шаг 4: Найдём \(x\)
Вернёмся к выражению \(x = -12 + 67y\):
\[ x = -12 + 67 \times \frac{95}{383} \]
Посчитаем:
\[ x = -12 + \frac{67 \times 95}{383} \]
Вычислим числитель:
\[ 67 \times 95 = (67 \times 100) - (67 \times 5) = 6700 - 335 = 6365 \]
Итак:
\[ x = -12 + \frac{6365}{383} \]
Обозначим \(-12\) как дробь с знаменателем 383:
\[ -12 = -\frac{12 \times 383}{383} = -\frac{4596}{383} \]
Теперь сложим дроби:
\[ x = \frac{-4596 + 6365}{383} = \frac{1769}{383} \]
Проверьте, можно ли упростить дробь:
- \(383\) — простое число, а \(1769\) делится на 17, так как:
\[ 17 \times 104 = 1768 \]
Но \(1769 = 1768 + 1\), значит — нет. Следовательно, дробь несократима.
Итоговое решение:
\[ \boxed{ x = \frac{1769}{383} } \]
\[ \boxed{ y = \frac{95}{383} } \]
Это решение системы уравнений.
