Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Четырёхугольник MNKL
- В этот четырёхугольник вписана окружность с центром T
- Сумма противоположных сторон равна 273 мм: ( MN + KL = NK + ML = 273, мм )
- Площадь четырёхугольника ( S = 1,1466, м^2 )
Что нужно найти: радиус окружности ( R )
Шаг 1. Перевод данных в одинаковые единицы
Площадь дана в квадратных метрах, а стороны — в миллиметрах. Переведём площадь в мм² для единства:
[
1, м^2 = 1, 000, 000, мм^2
]
Тогда:
[
S = 1,1466, м^2 = 1,1466 \times 1,000,000 = 1,146,600, мм^2
]
Шаг 2. Использование свойства вписанного четырёхугольника
Если в четырёхугольнике есть вписанная окружность, то сумма противоположных сторон равна:
[
MN + KL = NK + ML = 273, мм
]
Это означает, что четырёхугольник является аутомоном (или вписанным в окружность).
Шаг 3. Свойство четырёхугольника с вписанной окружностью
Для такого четырёхугольника выполняется формула:
[
S = r \times p
]
где:
- ( S ) — площадь,
- ( r ) — радиус вписанной окружности,
- ( p ) — полупериметр.
Шаг 4. Вычисление периметра и полупериметра
Обозначим стороны:
[
a = MN, \quad b = NK, \quad c = KL, \quad d = ML
]
Итак, сумма противоположных сторон:
[
a + c = b + d = 273, мм
]
Общий периметр:
[
P = a + b + c + d
]
Используем сумму противоположных сторон:
[
a + c = 273,\quad b + d = 273
]
Тогда:
[
P = (a + c) + (b + d) = 273 + 273 = 546, мм
]
Полупериметр:
[
p = \frac{P}{2} = \frac{546}{2} = 273, мм
]
Шаг 5. Вычисление радиуса ( r ) вписанной окружности
Из формулы:
[
S = r \times p
]
выразим ( r ):
[
r = \frac{S}{p}
]
Подставим значения:
[
r = \frac{1,146,600, мм^2}{273, мм} \approx 4200, мм
]
Переведём радиус в метры:
[
R = \frac{r}{1000} = \frac{4200}{1000} = 4,2, м
]
Ответ:
Радиус вписанной окружности равен 4,2 метра.
