В четырёхугольник M N K L MNKL вписана окружность с центром T T . Сумма противоположных сторон равна 273 273 мм. Найди радиус окружности, если площадь четырёхугольника равна 1 ,…

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

• Четырёхугольник MNKL
• В этот четырёхугольник вписана окружность с центром T
• Сумма противоположных сторон равна 273 мм: \( MN + KL = NK + ML = 273\, мм \)
• Площадь четырёхугольника \( S = 1,1466\, м^2 \)

Что нужно найти: радиус окружности \( R \)

---

Шаг 1. Перевод данных в одинаковые единицы

Площадь дана в квадратных метрах, а стороны — в миллиметрах. Переведём площадь в мм² для единства:

\[ 1\, м^2 = 1\, 000\, 000\, мм^2 \]

Тогда:

\[ S = 1,1466\, м^2 = 1,1466 \times 1\,000\,000 = 1\,146\,600\, мм^2 \]

---

Шаг 2. Использование свойства вписанного четырёхугольника

Если в четырёхугольнике есть вписанная окружность, то сумма противоположных сторон равна:

\[ MN + KL = NK + ML = 273\, мм \]

Это означает, что четырёхугольник является аутомоном (или вписанным в окружность).

---

Шаг 3. Свойство четырёхугольника с вписанной окружностью

Для такого четырёхугольника выполняется формула:

\[ S = r \times p \]

где:

• \( S \) — площадь,
• \( r \) — радиус вписанной окружности,
• \( p \) — полупериметр.

Шаг 4. Вычисление периметра и полупериметра

Обозначим стороны:

\[ a = MN, \quad b = NK, \quad c = KL, \quad d = ML \]

Итак, сумма противоположных сторон:

\[ a + c = b + d = 273\, мм \]

Общий периметр:

\[ P = a + b + c + d \]

Используем сумму противоположных сторон:

\[ a + c = 273,\quad b + d = 273 \]

Тогда:

\[ P = (a + c) + (b + d) = 273 + 273 = 546\, мм \]

Полупериметр:

\[ p = \frac{P}{2} = \frac{546}{2} = 273\, мм \]

---

Шаг 5. Вычисление радиуса \( r \) вписанной окружности

Из формулы:

\[ S = r \times p \]

выразим \( r \):

\[ r = \frac{S}{p} \]

Подставим значения:

\[ r = \frac{1\,146\,600\, мм^2}{273\, мм} \approx 4200\, мм \]

Переведём радиус в метры:

\[ R = \frac{r}{1000} = \frac{4200}{1000} = 4,2\, м \]

---

Ответ:

Радиус вписанной окружности равен 4,2 метра.