реши график Постройте график функции у = |х^2 + 2x - 3|
Конечно! Давайте подробно разберем, как построить график функции y = |x^2 + 2x - 3|.
Шаг 1: Анализ выражения внутри модуля
Функция задана как абсолютное значение квадратичной функции: \[ y = |x^2 + 2x - 3| \]
Для начала посмотрим на выражение внутри модуля: \[ f(x) = x^2 + 2x - 3 \]
Шаг 2: Исследование квадратичной функции \(f(x)\)
2.1. Найдем вершину параболы \(f(x)\)
Квадратичная функция \(f(x) = ax^2 + bx + c\) имеет вершину в точке \(x = -\frac{b}{2a}\).
Здесь \(a = 1\), \(b=2\). Значит: \[ x_{вершины} = -\frac{2}{2 \times 1} = -1 \]
2.2. Найдем значение функции в вершине:
\[ f(-1) = (-1)^2 + 2 \times (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \]
2.3. График:
- Вершина: \((-1, -4)\)
- Парабола "открыта" вверх (так как \(a=1 > 0\))
- Значит, она имеет минимальную точку в вершине, ниже горизонтали \(y=0\).
Шаг 3: Найдем нули функции \(f(x)\)
Решим уравнение \(f(x) = 0\):
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Используем дискриминант \(D\):
\[ D = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
- \(x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
- \(x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
То есть, график пересекает ось \(x\) в точках \((-3, 0)\) и \((1, 0)\).
Шаг 4: Построение графика функции \(f(x)\)
- Наличные точки:
- Вершина: \((-1, -4)\)
- Нули: \((-3, 0)\) и \((1, 0)\)
- График — парабола, симметричная относительно вертикальной оси, проходящей через вершину.
Шаг 5: Построение графика функции \(y = |f(x)|\)
- Модуль превращает все отрицательные значения \(f(x)\) в положительные.
- То есть, график функции — это "отзеркаливание" части параболы, расположенной ниже оси \(x\), вверх.
Конкретно:
На интервале \((-\infty, -3)\), \(f(x) > 0\), значит, \(y = f(x)\).
На интервале \((-3, 1)\), \(f(x) < 0\), поэтому \(y = -f(x)\).
После применения модуля получим два "куска":
- Верхний: тот же, что и график \(f(x)\) там, где \(f(x) \ge 0\).
- Зеркальный: вверх — там, где \(f(x) < 0\).
Итоговая инструкция для построения графика:
Постройте параболу \(f(x) = x^2 + 2x - 3\):
- Вершина: \((-1, -4)\)
- Пересечения с осью \(x\): \((-3, 0)\) и \((1,0)\).
Отразите часть параболы, находящуюся ниже оси \(x\), вверх относительно оси \(x\).
- В точках между \(-3\) и \(1\), \(f(x)\) отрицательно — отражайте эти участки.
Итоговая графическая функция — это парабола "с двумя кусками":
- Верхние части соответствуют положительной части \(f(x)\),
- Нижние части отражены вверх.
График:
- Важные точки: \((-3, 0)\), \((-1, 4)\), \((1, 0)\), и вершина, которая превращается в "мостик" на уровне \(y=4\).
Если хотите, я могу помочь вам нарисовать график или объяснить более подробно.
