Помоги

Давайте решим задачу по шагам.

Задача: упростить выражение
\[ \frac{72^n}{2^{3n+2} \cdot 3^{2n}} \]

Шаг 1. Представим числитель и знаменатель в виде степеней простых чисел:

• \(72\) — это произведение простых чисел: \(72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2\).
  Тогда \(72^n = (2^3 \times 3^2)^n = 2^{3n} \times 3^{2n}\).

Шаг 2. Запишем выражение полностью: \[ \frac{2^{3n} \times 3^{2n}}{2^{3n+2} \times 3^{2n}} \]

Шаг 3. Разделим степени одинаковых оснований по правилам деления степеней: \[ \frac{2^{3n}}{2^{3n+2}} = 2^{3n - (3n+2)} = 2^{-2} \] и \[ \frac{3^{2n}}{3^{2n}} = 3^{2n - 2n} = 3^0 = 1 \]

Шаг 4. Итоговое выражение: \[ 2^{-2} \times 1 = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} \]

Ответ:
\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]

Если нужно записать ответ в десятичной форме, то он равен 0,25.