В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине A равен 138°. Найдите вершину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Давайте решим задачу пошагово: **Дано:** - Треугольник ABC, равнобедренный с основанием AC. - Внешний угол при вершине A равен 138°. - Нужно найти угол при вершине B, обозначим его как ∠ABC. --- ### Шаг 1: Что означает равнобедренный треугольник? Равнобедренный треугольник с основанием AC — это значит, что стороны AB и BC равны, и или ну для этого типа треугольника важно знать, какая сторона является основанием и какие углы противоположны этим сторонам. Однако по условию, основание — AC, а вершины — A, B, C. Равнобедренным с основанием AC является треугольник, где: - AB = BC (так как он равнобедренный и основание — AC). Итак, у нас есть: - AB = BC, - ∠A, ∠B, ∠C — углы при вершинах A, B, C соответственно. --- ### Шаг 2: Внешний угол при вершине A равен 138° Внешний угол при вершине A — это внешний угол, соединяющий продолжения сторон AB и AC, а не внутренний. В формулировке важно понять, что внешний угол при вершине A равен 138°. *Правило:* Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не являющихся соседними с ним, то есть, если он внешний к углу ∠A, то: \[ \text{Внешний угол при } A = 180^\circ - \angle A \] Но это было бы верно, если бы внешний угол был внешним к стороне BC, а не при вершине A. Обычно, внешний угол при вершине равен 180° минус внутренний угол при той же вершине, потому что внешний и внутренний углы при одной вершине — дополнительные (сумма равна 180°). --- ### Шаг 3: Определим внутренний угол при A Обозначим: - \(\angle A = \alpha\) Тогда, внешний угол при A, равный 138°, есть внешний к \(\angle A\): \[ \text{Внешний угол при } A = 180^\circ - \alpha \] Из условия: \[ 180^\circ - \alpha = 138^\circ \] Решаем: \[ \alpha = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \] Итак, внутренний угол при вершине A равен **42°**. --- ### Шаг 4: Связь между углами треугольника В треугольнике сумма внутренних углов равна 180°: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] Из условия, — треугольник равнобедренный с основанием AC, потому что AB = BC, а значит, углы при основании — равны. - Внутренние углы при вершинах B и C равны: \[ \angle B = \angle C = x \] Обозначим \(x\) — искомый угол при вершине B, по условию нужно найти именно его. Тогда: \[ \alpha + 2x = 180^\circ \] Подставим \(\alpha = 42^\circ\): \[ 42^\circ + 2x = 180^\circ \] Решаем уравнение: \[ 2x = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \] \[ x = \frac{138^\circ}{2} = 69^\circ \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{69^\circ} \] Угол при вершине B равен **69 градусов**.