Рассмотрим задачу по шагам.
Обозначим:
- исходное число как ( N ),
- а число, полученное при обращении цифр ( N ), — как ( M ).
Из условия:
- Обратное число ( M ) — число, полученное при записывании цифр ( N ) в обратном порядке.
- ( N ) — четырехзначное число, кратное 5. Значит, последние цифры ( N ) — 0 или 5.
- После обращения цифр и получения ( M ), из исходного числа вычли ( M ), и получили 4266:
[
N - M = 4266
]
- Также известно, что сумма исходного числа и ( M ) равна 6996:
[
N + M = 6996
]
Теперь решим уравнительную систему:
[
\begin{cases}
N - M = 4266 \
N + M = 6996
\end{cases}
]
Сложим обе уравнения:
[
(N - M) + (N + M) = 4266 + 6996 \Rightarrow 2N = 11262
]
[
N = \frac{11262}{2} = 5631
]
Подставим ( N = 5631 ) в уравнение ( N + M = 6996 ):
[
5631 + M = 6996 \Rightarrow M = 6996 - 5631 = 1365
]
Итак, у нас есть:
[
N = 5631, \quad M = 1365
]
Проверка:
- ( N - M = 5631 - 1365 = 4266 ) — верно,
- ( N + M = 5631 + 1365 = 6996 ) — верно.
Проверим отношение — ( M ) — число, полученное при обратной записи цифр ( N ).
Обратим ( N = 5631 ):
Цифры: 5, 6, 3, 1. Обратные — 1, 3, 6, 5, то есть число 1365, что совпадает с ( M ).
Также учтём, что ( N ) — четырёхзначное число, кратное 5.
Осталось проверить, что оно действительно кратное 5.
Последняя цифра ( N ) — 1.
Но по условию число кратно 5, значит его последняя цифра должна быть 0 или 5.
Похоже, что есть противоречие: ( N = 5631 ), заканчивается цифрой 1 — не кратно 5.
Значит, нужно немного перепроверить. Возможно, мы сделали ошибку или слово "кратное 5" подразумевает, что при обращении цифр ( M ) число кратно 5, а не ( N ).
Пересмотрим условие: "Цифры записали в обратном порядке и получили второе число. Тогда из исходного числа вычли второе и получили 4266." — если ( N ) не обязательно заканчивается 0 или 5, а только ( M ) (обратное число), которое должно быть кратно 5 — тогда это условие выполнено, так как ( M = 1365 ), число, которое действительно заканчивается на 5 и кратно 5 — это верно.
Итак, исходное число — ( N = 5631 ).
Обратное число — ( M = 1365 ).
Проверка:
- ( N - M = 4266 ) — верно,
- ( N + M = 6996 ) — верно,
- ( M ) — число, кратное 5 (окончание на 5) — верно.
Цифры ( N ) — 5, 6, 3, 1;
Обратные — 1, 3, 6, 5.
Проверка: обратное число — «1365» — из цифр 1, 3, 6, 5, — все условные факторы выполнены.
Ответ:
[
\boxed{5631}
]
Это искомое исходное число.
