Давайте подробно решим задачу и объясним каждый шаг.
Дано:
- Ребро правильного тетраэдра (a = 21 \text{ см}).
Задача:
- Найти площадь полной поверхности правильного тетраэдра.
Шаг 1: Что такое правильный тетраэдр?
Правильный тетраэдр — это платоново тело, у которого все грани являются равными равносторонними треугольниками, а все рёбра равны.
Шаг 2: Площадь одной грани
Площадь одной равносторонней треугольной грани с рёбером (a) вычисляется по формуле:
[
S_{\text{площадь стороны}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
где:
- (\sqrt{3}) — корень из 3,
- (a) — длина ребра.
Подставим значение (a=21):
[
S_{\text{стороны}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 21^2
]
Посчитаем (21^2):
[
21^2 = 441
]
Значит,
[
S_{\text{стороны}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 441
]
Запишем это чуть проще:
[
S_{\text{стороны}} = \frac{441 \sqrt{3}}{4}
]
Шаг 3: Полная поверхность
Тетраэдр имеет 4 равных грани, значит, площадь всей поверхности:
[
S_{\text{полная}} = 4 \times S_{\text{стороны}} = 4 \times \frac{441 \sqrt{3}}{4}
]
[
S_{\text{полная}} = 441 \sqrt{3}
]
Ответ:
[
\boxed{
S_{\text{поверхности}} = 441 \sqrt{3} \text{ см}^2
}
]
или в более компактной форме:
[
\text{Площадь полной поверхности} = 441 \sqrt{3} \text{ см}^2
]
Если нужно дать числовое приближение, то:
[
\sqrt{3} \approx 1.732
]
Тогда:
[
441 \times 1.732 \approx 762.852 \text{ см}^2
]
Итог:
Площадь полной поверхности тетраэдра равна (441 \sqrt{3} \text{ см}^2), или примерно 763 см².
