Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12/3 см, а сторона основания равна 24 см. Вычисли двугранный угол при основании. Ответ: двугранный угол при основании равен градусов.

Давайте разобьём задачу на части и пошагово выясним, как найти двугранный угол при основании правильной четырёхугольной пирамиды. **Дано:** - Высота пирамиды \( h = \frac{12}{3} = 4 \) см - Длина стороны основания \( a = 24 \) см **Что нужно найти:** - Двугранный угол при основании --- ### Шаг 1. Определим, что такое двугранный угол при основании Двугранный угол — это угол между двух плоскостей. В данной задаче при основании это угол между плоскостями, образующими сторону пирамиды и плоскостью основания, то есть между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. Чтобы его найти, нужно рассмотреть боковую грань, которая является треугольником с основанием 24 см и высотой 4 см. --- ### Шаг 2. Построение схемы и нахождение апофизы - Апофиза — это перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к центру основания. - В центре основания средняя точка — её координаты, если считать, что центр — это точка \( O \). - Для правильной пирамиды высота \( h = 4 \) см. - Радиус вписанного квадрата (расстояние от центра до середины стороны): \[ R = \frac{a}{2} = 12\, \text{см} \] --- ### Шаг 3. Нахождение апофизы - В высоте \( h = 4\) см вершина пирамиды расположена на вертикальной оси, а основание находится на плоскости. - Расстояние от центра основания до любой грани (поскольку это правильная пирамита, грани симметричны). --- ### Шаг 4. Нахождение угла между плоскостью боковой грани и основанием Для этого рассмотрим: - Прямоугольный треугольник, стороны которого — высота \( h = 4 \) см и половина стороны основания \( a/2 = 12 \) см. Обозначим: - \( \theta \) — искомый двугранный угол при основании. --- ### Шаг 5. Вводим основные понятия - Изначально найдём угол между боковой гранью и осью апофизы: этот угол равен половине двугранного угла, так как между боковой гранью и основанием есть симметрия. - Длина апофизы \( l \) (расстояние от вершины до центра основания): \[ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} \] Но поскольку \( h \) и \( a \) заданы, проще найти многочленом. --- ### Шаг 6. Нахождение синуса половины двугранного угла Видим, что: \[ \sin \frac{\theta}{2} = \frac{\text{противоположный катет}}{\textохдент гипотенузы} \] Гипотенуза — расстояние от вершины до точки основания по диагонали, что равно: \[ d = \sqrt{(a/2)^2 + h^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \] --- ### Шаг 7. Расчёт двугранного угла Используем формулу: \[ \cos \frac{\theta}{2} = \frac{\text{прилегающий катет}}{\text{гипотенуза}} \] Где прилегающий катет — это высота \( h \), а гипотенуза — расстояние \( d \): \[ \cos \frac{\theta}{2} = \frac{h}{d} = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \] Следовательно, \[ \frac{\theta}{2} = \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \] и \[ \theta = 2 \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \] --- ### **Ответ:** Двугранный угол при основании равен \[ \boxed{ \theta = 2 \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \text{ градусов} } \] или, переводя в градусы, если необходимо, можно численно посчитать. Например: \[ \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \approx \arccos (0,3162) \approx 71,57^\circ \] Следовательно, \[ \boxed{ \theta \approx 2 \times 71,57^\circ \approx 143,14^\circ } \] **Итог:** двугранный угол при основании примерно равен **143 градусам**.