Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12/3 см, а сторона основания равна 24 см. Вычисли двугранный угол при основании. Ответ: двугранный угол при основании равен…

Давайте разобьём задачу на части и пошагово выясним, как найти двугранный угол при основании правильной четырёхугольной пирамиды.

Дано:

• Высота пирамиды \( h = \frac{12}{3} = 4 \) см
• Длина стороны основания \( a = 24 \) см

Что нужно найти:

• Двугранный угол при основании

---

Шаг 1. Определим, что такое двугранный угол при основании

Двугранный угол — это угол между двух плоскостей. В данной задаче при основании это угол между плоскостями, образующими сторону пирамиды и плоскостью основания, то есть между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

Чтобы его найти, нужно рассмотреть боковую грань, которая является треугольником с основанием 24 см и высотой 4 см.

---

Шаг 2. Построение схемы и нахождение апофизы

• Апофиза — это перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к центру основания.
• В центре основания средняя точка — её координаты, если считать, что центр — это точка \( O \).
• Для правильной пирамиды высота \( h = 4 \) см.
• Радиус вписанного квадрата (расстояние от центра до середины стороны):
  \[ R = \frac{a}{2} = 12\, \text{см} \]

---

Шаг 3. Нахождение апофизы

• В высоте \( h = 4\) см вершина пирамиды расположена на вертикальной оси, а основание находится на плоскости.
• Расстояние от центра основания до любой грани (поскольку это правильная пирамита, грани симметричны).

---

Шаг 4. Нахождение угла между плоскостью боковой грани и основанием

Для этого рассмотрим:

• Прямоугольный треугольник, стороны которого — высота \( h = 4 \) см и половина стороны основания \( a/2 = 12 \) см.

Обозначим:

• \( \theta \) — искомый двугранный угол при основании.

---

Шаг 5. Вводим основные понятия

• Изначально найдём угол между боковой гранью и осью апофизы: этот угол равен половине двугранного угла, так как между боковой гранью и основанием есть симметрия.

• Длина апофизы \( l \) (расстояние от вершины до центра основания):

  \[ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} \] Но поскольку \( h \) и \( a \) заданы, проще найти многочленом.

---

Шаг 6. Нахождение синуса половины двугранного угла

Видим, что:

\[ \sin \frac{\theta}{2} = \frac{\text{противоположный катет}}{\textохдент гипотенузы} \]

Гипотенуза — расстояние от вершины до точки основания по диагонали, что равно:

\[ d = \sqrt{(a/2)^2 + h^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \]

---

Шаг 7. Расчёт двугранного угла

Используем формулу:

\[ \cos \frac{\theta}{2} = \frac{\text{прилегающий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

Где прилегающий катет — это высота \( h \), а гипотенуза — расстояние \( d \):

\[ \cos \frac{\theta}{2} = \frac{h}{d} = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \]

Следовательно,

\[ \frac{\theta}{2} = \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \]

и

\[ \theta = 2 \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \]

---

Ответ:

Двугранный угол при основании равен

\[ \boxed{ \theta = 2 \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \text{ градусов} } \]

или, переводя в градусы, если необходимо, можно численно посчитать. Например:

\[ \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \approx \arccos (0,3162) \approx 71,57^\circ \]

Следовательно,

\[ \boxed{ \theta \approx 2 \times 71,57^\circ \approx 143,14^\circ } \]

Итог: двугранный угол при основании примерно равен 143 градусам.