х(х2-10х+25)=-6(5-х)
Давайте решим уравнение:
\[ х(х^2 - 10х + 25) = -6(5 - х) \]
Шаг 1. Раскроем скобки слева и справа.
Левое выражение:
\[ х(х^2 - 10х + 25) \]
Это произведение х на каждый член внутри скобок:
\[ х \cdot х^2 = х^3 \]
\[ х \cdot (-10х) = -10х^2 \]
\[ х \cdot 25 = 25х \]
Итак, левое выражение:
\[ х^3 - 10х^2 + 25х \]
Правое выражение:
\[ -6(5 - х) \]
Раскроем скобки:
\[ -6 \cdot 5 = -30 \]
\[ -6 \cdot (-х) = +6х \]
Итого:
\[ -30 + 6х \]
Теперь уравнение выглядит так:
\[ х^3 - 10х^2 + 25х = -30 + 6х \]
Шаг 2. Перенесем все в левую часть уравнения:
\[ х^3 - 10х^2 + 25х - 6х + 30 = 0 \]
Объединим подобные члены:
\[ х^3 - 10х^2 + (25х - 6х) + 30 = 0 \]
\[ х^3 - 10х^2 + 19х + 30 = 0 \]
Получили кубическое уравнение:
\[ х^3 - 10х^2 + 19х + 30 = 0 \]
Шаг 3. Попробуем найти рациональный корень. Для этого воспользуемся теоремой Виетта: делители свободного члена (30) могут быть делителями рациональных корней.
Делители 30: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30\).
Подставим эти значения по очереди в уравнение и проверим, даёт ли оно ноль.
Проверим \(х = 1\):
\[ 1^3 - 10 \cdot 1^2 + 19 \cdot 1 + 30 = 1 - 10 + 19 + 30 = 40 \neq 0 \]
Проверим \(х = -1\):
\[ (-1)^3 - 10 \cdot (-1)^2 + 19 \cdot (-1) + 30 = -1 - 10 - 19 + 30 = 0 \]
Отлично! \(х = -1\) — корень уравнения.
Шаг 4. Разделим многочлен на \((х + 1)\), чтобы найти остальные корни. Для этого можно воспользоваться делением или методом длинного деления многочленов.
Разделим \(х^3 - 10х^2 + 19х + 30\) на \((х + 1)\):
Используя схему деления:
- Первые коэффициенты: 1 (при \(х^3\))
- Делим \(х^3\) на \(х\): получаем \(х^2\)
Записываем:
- \(х^2 \times (х + 1) = х^3 + х^2\)
Вычитаем:
\[ (х^3 - 10х^2 + 19х + 30) - (х^3 + х^2) = -11х^2 + 19х + 30 \]
Далее делим \(-11х^2\) на \(х\): получаем \(-11х\)
Умножаем:
\(-11х \times (х + 1) = -11х^2 - 11х \)
Вычитаем:
\[ (-11х^2 + 19х + 30) - (-11х^2 - 11х) = (19х + 11х) + 30 = 30х + 30 \]
Делим \(30х\) на \(х\): получаем 30
Умножаем:
\(30 \times (х + 1) = 30х + 30\)
Вычитаем:
\[ (30х + 30) - (30х + 30) = 0 \]
Остаток равен нулю, значит деление завершено.
Многочлен разлагается так:
\[ х^3 - 10х^2 + 19х + 30 = (х + 1)(х^2 - 11х + 30) \]
Шаг 5. Решим квадратное уравнение:
\[ х^2 - 11х + 30 = 0 \]
Для этого используем формулу дискриминанта:
\[ D = (-11)^2 - 4 \times 1 \times 30 = 121 - 120 = 1 \]
Корни:
\[ х = \frac{11 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{11 \pm 1}{2} \]
Получаем два корня:
- \(х = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
- \(х = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
ИТОГ:
Корни уравнения:
\[ х = -1, \quad х = 5, \quad х = 6 \]
Если нужен ответ в виде списка:
Ответ: \(\boxed{-1, 5, 6}\)
Если есть дополнительные вопросы или нужна проверка, скажите!
