сколько существует различных Четырехзначных чисел, в каждом из которых сумма цифр равна 3

Давайте решим задачу: сколько существует различных четырехзначных чисел, в каждом из которых сумма цифр равна 3.

Шаг 1: Определимся с условиями

• Четырехзначное число: число, у которого первая цифра не равна нулю (от 1 до 9), остальные цифры могут быть от 0 до 9.
• Сумма цифр: равна 3.

Обозначим цифры числа как \( a, b, c, d \), тогда:

\[ a + b + c + d = 3, \]

где \( a \geq 1 \), а \( b, c, d \geq 0 \).

Шаг 2: Упростим задачу

Поскольку \( a \geq 1 \), введем новую переменную \( a' = a - 1 \), тогда \( a' \geq 0 \). Перепишем уравнение:

\[ a' + 1 + b + c + d = 3, \]

или

\[ a' + b + c + d = 2. \]

Все переменные \( a', b, c, d \) неотрицательны, и сумма равна 2.

Шаг 3: Решение задачи с помощью комбинаторики

Количество решений уравнения

\[ a' + b + c + d = 2, \quad a', b, c, d \geq 0, \]

подсчитывается по формуле количества комбинаций с повторениями:

\[ \text{число решений} = C(n + k - 1, k - 1), \]

где \( n = 2 \) — сумма, \( k = 4 \) — переменные.

Подставим:

\[ C(2 + 4 - 1, 4 - 1) = C(5, 3). \]

Вычислим:

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10. \]

Шаг 4: Итог

Ответ: 10.

Итоговое решение:

Количество четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна 3, равно 10.