Давайте решим задачу: сколько существует различных четырехзначных чисел, в каждом из которых сумма цифр равна 3.
Шаг 1: Определимся с условиями
- Четырехзначное число: число, у которого первая цифра не равна нулю (от 1 до 9), остальные цифры могут быть от 0 до 9.
- Сумма цифр: равна 3.
Обозначим цифры числа как ( a, b, c, d ), тогда:
[
a + b + c + d = 3,
]
где ( a \geq 1 ), а ( b, c, d \geq 0 ).
Шаг 2: Упростим задачу
Поскольку ( a \geq 1 ), введем новую переменную ( a' = a - 1 ), тогда ( a' \geq 0 ). Перепишем уравнение:
[
a' + 1 + b + c + d = 3,
]
или
[
a' + b + c + d = 2.
]
Все переменные ( a', b, c, d ) неотрицательны, и сумма равна 2.
Шаг 3: Решение задачи с помощью комбинаторики
Количество решений уравнения
[
a' + b + c + d = 2, \quad a', b, c, d \geq 0,
]
подсчитывается по формуле количества комбинаций с повторениями:
[
\text{число решений} = C(n + k - 1, k - 1),
]
где ( n = 2 ) — сумма, ( k = 4 ) — переменные.
Подставим:
[
C(2 + 4 - 1, 4 - 1) = C(5, 3).
]
Вычислим:
[
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10.
]
Шаг 4: Итог
Ответ: 10.
Итоговое решение:
Количество четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна 3, равно 10.
