Задание: имеется выборка, содержащая 15 числовых значений некоторого признака случайной величины Х. Построить: 1) статистическое распределение выборки; 2) полигон частот; 3)…

Давайте подробно разберем задание и пошагово выполним каждую часть.

Исходные данные:

X = [12, 25, 8, 12, 8, 25, 8, 12, 3, 12, 3, 8, 33, 8, 30]

---

1. Построение статистического распределения выборки

Шаг 1: Подсчитаем частоты каждого значения

Значение	Частота
3	2
8	6
12	4
15	— (нет)
25	2
30	1
33	1

Обратите внимание: Значения 15 нет в выборке, поэтому его считать не нужно.

Шаг 2: Построение таблицы частот

Итак, статистическое распределение — это таблица частот для каждого уникального значения.

---

2. Построение полигон частот

Шаги:

• На горизонтальной оси — значения (3, 8, 12, 25, 30, 33)
• На вертикальной — частоты соответствующих значений: 2, 6, 4, 2, 1, 1
• Соедините точки горизонтальной линией, получив полигон частот.

---

3. Построение эмпирической функции распределения (ЭФР)

ЭФР — это функция, которая для каждого значения показывает долю наблюдений, не превышающих его.

Шаги:

1. Отсортируем выборку по возрастанию:

   [3, 3, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 12, 12, 12, 12, 25, 25, 30, 33]

   Обратите внимание, что в исходных данных 15 чисел; в выборке для примера приведена отсортированная выборка.

2. Построим таблицу:

Значение	Количество ≤	Эмпирическая функция F(x) = (число ≤) / N
3	2	2 / 15 ≈ 0,133
8	8	8 / 15 ≈ 0,533
12	12	12 / 15 = 0,8
25	14	14 / 15 ≈ 0,933
30	15	15 / 15 = 1
33	15	1

Эмпирическая функция — ступенчатая, увеличивающаяся при переходе через каждое уникальное значение.

---

4. Интервальный ряд

Шаги:

• Определим границы классов, например, равномерно разделим диапазон значений.
• Наиболее распространено — 3-4 интервала.

Для примера, возьмем 3 интервала:

Минимальное значение — 3, максимальное — 33.

Диапазон: 33 - 3 = 30

Длина интервала ≈ 10

Классы:

Интервал	Частота
3–13	Посчитаем: 3, 3, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 12, 12, 12, 12
13–23	Не встречается в выборке
23–33	25, 25, 30, 33

Интервальный ряд — это таблица с границами интервалов и их частотами.

---

5. Гистограмма частот

• Построена по аналогии с интервалами: по горизонтали — интервалы, по вертикали — частоты.
• Для примера:

Интервал	Частота
3–13	12
13–23	0
23–33	4

---

Вычисляемые статистические показатели:

Б. выборочная средняя (математическое ожидание)

\[ \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \]

Подсчет:

\[ \bar{x} = \frac{12 + 25 + 8 + 12 + 8 + 25 + 8 + 12 + 3 + 12 + 3 + 8 + 33 + 8 + 30}{15} \]

Сумма чисел:

12 + 25 + 8 + 12 + 8 + 25 + 8 + 12 + 3 + 12 + 3 + 8 + 33 + 8 + 30 = 200

\[ \bar{x} = \frac{200}{15} ≈ 13.33 \]

---

7. Выборочная дисперсия (s²)

\[ s^2 = \frac{1}{N - 1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \]

Вычислим:

Значение	\(x_i - \bar{x}\)	\((x_i - \bar{x})^2\)
12	-1.33	1.77
25	11.67	136.17
8	-5.33	28.44
12	-1.33	1.77
8	-5.33	28.44
25	11.67	136.17
8	-5.33	28.44
12	-1.33	1.77
3	-10.33	106.72
12	-1.33	1.77
3	-10.33	106.72
8	-5.33	28.44
33	19.67	386.68
8	-5.33	28.44
30	16.67	277.78

Сумма:

1.77 + 136.17 + 28.44 + 1.77 + 28.44 + 136.17 + 28.44 + 1.77 + 106.72 + 1.77 + 106.72 + 28.44 + 386.68 + 28.44 + 277.78 ≈ 1188.41

Дисперсия:

\[ s^2 = \frac{1188.41}{14} ≈ 84.89 \]

8. Выборочное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение)

\[ s = \sqrt{s^2} ≈ \sqrt{84.89} ≈ 9.21 \]

---

9. Мода

Значение, которое встречается чаще других.

Частоты:

• 8 — 6 раз
• 12 — 4 раза
• 25 — 2 раза
• 3 — 2 раза
• 30 — 1 раз
• 33 — 1 раз

Мода — это 8, т.к. оно встречается чаще всего.

---

10. Медиана

• Отсортированная выборка:

[3, 3, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 12, 12, 12, 12, 25, 25, 30, 33]

Количество элементов: 15 (в выборке — 15). Так как выборка — нечетная, медиана — это средний элемент:

Медиана — это 8-й элемент:

Отсчитаем: первые 8 элементов — 3, 3, 8, 8, 8, 8, 8, 8

Медиана = 8

---

Итоговое:

• Статистическое распределение: таблица частот
• Полигон частот: график соединения точек по значениям и частотам
• Эмпирическая функция распределения: ступенчатая кривая
• Интервальный ряд: таблица интервалов и частот
• Гистограмма: график по интервалам и частотам
• Средняя: ≈ 13.33
• Дисперсия: ≈ 84.89
• Среднее квадратическое отклонение: ≈ 9.21
• Мода: 8
• Медиана: 8

Если нужно, я могу помочь с построением графиков или объяснить любой из шагов подробнее!