Какая часть молекул водорода, нагретого до 600 К, имеет скорость в диапазоне от 1000 м/c до 1010 м/c? Ответ дать в процентах. Ответ:

Для решения этой задачи используем концепцию распределения скоростей молекул водорода по закону Максвелла. Нам нужны доли молекул с определённым диапазоном скоростей.

Шаг 1. Закон Максвелла для распределения скоростей:

Вероятность найти молекулу со скоростью в интервале от v до v + dv записывается как:

\[ f(v) dv = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2 k T}\right) dv \]

где:

• \(m\) — масса молекулы водорода,
• \(k\) — постоянная Бора,
• \(T\) — температура.

Шаг 2. Масса молекулы водорода:

Молекулярная масса \( M_{H_2} = 2 \times 1.0079\, \грамм/моль \approx 2.016\, \грамм/моль \).

Переведём в кг:

\[ m = \frac{2.016 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 3.34 \times 10^{-27} \text{ кг} \]

Шаг 3. Рассчитаем среднюю энергию и параметр \(a\):

Обозначим

\[ a = \frac{m}{2 k T} \]

где \(k = 1.38 \times 10^{-23}\, Дж/K\).

При \( T = 600\,K \):

\[ a = \frac{3.34 \times 10^{-27}}{2 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 600} = \frac{3.34 \times 10^{-27}}{1.656 \times 10^{-20}} \approx 2.02 \times 10^{-7} \]

Шаг 4. Выражение для доли молекул в диапазоне скоростей:

Доля молекул с скоростью между \(v_1=1000\, м/с\) и \(v_2=1010\, м/с\):

\[ P = \int_{v_1}^{v_2} f(v) dv \]

где:

\[ f(v) = 4 \pi a^{3/2} v^2 \exp(-a v^2) \]

Область узкая; для небольшого диапазона используем приближение:

\[ P \approx f(v_{сред}) \Delta v \]

где

\[ v_{сред} = \frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{1000 + 1010}{2} = 1005\, м/с \]

\[ \Delta v = v_2 - v_1 = 10\, м/с \]

Шаг 5. Расчёт \(f(v_{сред})\):

\[ f(1005) = 4 \pi a^{3/2} \times (1005)^2 \exp(-a \times 1005^2) \]

Сначала найдём \(a^{3/2}\):

\[ a^{3/2} = (2.02 \times 10^{-7})^{1.5} = (2.02 \times 10^{-7}) \times \sqrt{2.02 \times 10^{-7}} \]

\[ \sqrt{2.02 \times 10^{-7}} \approx 1.42 \times 10^{-4} \]

\[ a^{3/2} \approx 2.02 \times 10^{-7} \times 1.42 \times 10^{-4} \approx 2.87 \times 10^{-11} \]

Теперь:

\[ f(1005) \approx 4 \pi \times 2.87 \times 10^{-11} \times (1005)^2 \times \exp(-a \times 1005^2) \]

\[ (1005)^2 \approx 1.010 \times 10^{6} \]

\[ a \times 1005^2 \approx 2.02 \times 10^{-7} \times 1.010 \times 10^{6} \approx 0.204 \]

\[ \exp(-0.204) \approx 0.815 \]

Теперь считаем:

\[ f(1005) \approx 4 \times 3.1416 \times 2.87 \times 10^{-11} \times 1.010 \times 10^{6} \times 0.815 \]

\[ 4 \times 3.1416 \approx 12.566 \]

\[ 12.566 \times 2.87 \times 10^{-11} \approx 3.605 \times 10^{-10} \]

\[ 3.605 \times 10^{-10} \times 1.010 \times 10^{6} \approx 3.641 \times 10^{-4} \]

\[ 3.641 \times 10^{-4} \times 0.815 \approx 2.97 \times 10^{-4} \]

Шаг 6. Итоговая доля:

\[ P \approx f(1005) \times \Delta v = 2.97 \times 10^{-4} \times 10 \approx 2.97 \times 10^{-3} \]

или в процентах:

\[ 0.297\% \]

Ответ: \(\boxed{0.3\%}\) около 0.3% молекул водорода при температуре 600 К движутся со скоростью в диапазоне от 1000 м/с до 1010 м/с.