(loga(ab)*(logb(a)-1+loga(b))/(1+(loga(b))^3)
Давайте подробно разберём данное выражение:
\[
\frac{\log_a(b) \times \left(\log_b(a) - 1 + \log_a(b)\right)}{1 + \left(\log_a(b)\right)^3}
\]
Цель — понять, что это за выражение и как упростить его.
Шаг 1: знакомство с логарифмическими свойствами
Основное свойство, которое нам пригодится — связь между логарифмами с разными основаниями:
\[ \log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} \]
и
\[ \log_a(b) \times \log_b(a) = 1 \]
Это важное равенство — они являются взаимной обратной парой.
Шаг 2: обозначим \(\log_a(b) = x\)
Обозначим:
\[ x = \log_a(b) \]
Тогда:
\[ \log_b(a) = \frac{1}{x} \]
поскольку:
\[ \log_a(b) \times \log_b(a) = 1 \quad \Rightarrow \quad x \times \frac{1}{x} = 1 \]
Шаг 3: перепишем исходное выражение
Подставляем:
\[ \frac{x \times (\frac{1}{x} - 1 + x)}{1 + x^3} \]
Теперь упростим числитель.
Шаг 4: упростим числитель
Числитель — это:
\[ x \times \left(\frac{1}{x} - 1 + x\right) \]
Раскроем скобки:
\[ x \times \frac{1}{x} - x \times 1 + x \times x \]
Вычислим каждое слагаемое:
\[ 1 - x + x^2 \]
Обратите внимание: так как \(x \times \frac{1}{x} = 1\).
Итого числитель — это:
\[ 1 - x + x^2 \]
Шаг 5: итоговая форма выражения
Теперь у нас есть:
\[ \frac{1 - x + x^2}{1 + x^3} \]
Это уже значительно проще.
Шаг 6: возможность дальнейшего упрощения
Обратим внимание на выражение:
\[ 1 + x^3 \]
Это сумма кубов:
\[ x^3 + 1 \]
Можно разложить на множители:
\[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \]
По формуле суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - a b + b^2)\), здесь \(a = x\), \(b=1\).
Шаг 7: представление исходного выражения в виде дроби
Подставляем разложение:
\[ \frac{1 - x + x^2}{(x+1)(x^2 - x + 1)} \]
Обратите внимание: в числителе у нас есть \(x^2 - x + 1\). Также заметим, что:
\[ 1 - x + x^2 = x^2 - x + 1 \]
то есть числитель и вторая множитель в разложении знаменателя совпадают.
Тогда:
\[ \frac{x^2 - x + 1}{(x+1)(x^2 - x +1)} \]
Шаг 8: сокращение дроби
Датель числитель совпадает с одной из частей знаменателя, поэтому дробь сокращается:
\[ \frac{\cancel{x^2 - x + 1}}{(x+1)\cancel{(x^2 - x + 1)}} = \frac{1}{x+1} \]
Итог:
\[ \boxed{ \frac{\log_a(b)}{1 + \log_a(b)} } \]
Ответ:
Выражение упрощается до:
\[ \frac{\log_a(b)}{1 + \log_a(b)} \]
или, если не писать логи:
\[ \frac{x}{1 + x} \]
где \(x = \log_a(b)\).
Если хотите, я могу помочь понять, при каких условиях это выражение существует, или какие значения можно подставлять для \(a\) и \(b\).
