Дано, что (a > b).
Чтобы определить, какое неравенство поставим вместо знаков "<" или ">", нужно рассмотреть, как соотносятся числовые выражения при этих условиях.
Значения (\frac{a}{3}) и (\frac{b}{3}):
- Поскольку (a > b), при делении на число (3) (которое положительно), не меняется знак неравенства. То есть:
[
\frac{a}{3} > \frac{b}{3}
]
Теперь посмотрим на произведение:
[
\frac{a}{3} * \frac{b}{3}
]
- При этом (a > b), а (b) может быть как положительным, так и отрицательным, но для простоты и ясности предполагаем, что (a) и (b) положительны (часто в подобных задачах так и предполагается).
Если оба числа положительны, то:
- Их деления (\frac{a}{3}) и (\frac{b}{3}) тоже положительны.
- Тогда:
[
\frac{a}{3} > \frac{b}{3}
]
и произведение:
[
\frac{a}{3} * \frac{b}{3} = \frac{ab}{9}
]
- Так как (a > b), то (ab > b^2) (при положительных числах).
Чтобы узнать знак сравнения, сравним (\frac{a}{3}) и (\frac{b}{3}):
[
\frac{a}{3} > \frac{b}{3}
]
[
\frac{a}{3} > \frac{b}{3}
]
- Итак, правильное неравенство:
[
\frac{a}{3} > \frac{b}{3}
]
или, в виде сравнения произведений:
[
\frac{a}{3} * \frac{b}{3} < \frac{a}{3} * \frac{a}{3}
]
что равносильно:
[
\frac{ab}{9} < \frac{a^2}{9}
]
или просто:
[
ab < a^2
]
при (a > 0).
Ответ:
Вместо звездочек поставьте знак " > ":
[
\frac{a}{3} > \frac{b}{3}
]
или
[
\frac{a}{3} * \frac{b}{3} < \frac{a}{3} * \frac{a}{3}
]
что соответствует:
(\frac{a}{3} > \frac{b}{3}).
