сколько решений имеет уравнение? введите наименьшее решение уравнения.

Давайте решим уравнение:
\[ \sqrt{x} = x - 2 \]

Шаг 1: Анализируем область определения.

• В левой части у нас квадратный корень \(\sqrt{x}\). Он определён при \(x \geq 0\).
• В правой части у нас выражение \(x - 2\). Это любое число, но чтобы равенство имело смысл, необходимы дополнительные условия.

Также, так как \(\sqrt{x} \geq 0\), то и правая часть должна быть неотрицательной:
\[ x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \]

Итак, область определения для искомых решений:
\[ x \geq 2 \]

Шаг 2: Возводим обе части уравнения в квадрат (чтобы избавиться от корня), но при этом нужно быть аккуратным, так как при возведении в квадрат могут появиться лишние решения.

\[ (\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2 \]

\[ x = (x - 2)^2 \]

Раскроем правую часть:

\[ x = x^2 - 4x + 4 \]

Перенесем все в левую часть:

\[ 0 = x^2 - 4x + 4 - x \] \[ 0 = x^2 - 5x + 4 \]

Это квадратичное уравнение:

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Решим его с помощью дискриминанта:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

Корни:

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]

Получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Шаг 3: Проверка полученных решений.

• В области определения \(x \geq 2\), выбираем только решения, удовлетворяющие это условие.

\[ x_1 = 4 \geq 2 \quad \Rightarrow \text{подходит} \] \[ x_2 = 1 \quad \Right \rightarrow \text{не подходит, так как } 1 < 2 \]

• Проверим каждое решение подставляя в исходное уравнение:

Для \(x = 4\):

\[ \sqrt{4} = 4 - 2 \Rightarrow 2 = 2 \quad \text{верно} \]

Для \(x = 1\):

\[ \sqrt{1} = 1 - 2 \Rightarrow 1 = -1 \quad \text{неверно} \]

Значит, единственное решение уравнения — \(x = 4\).

Ответ:

• Количество решений: 1
• Наименьшее решение: \(\boxed{4}\)