Сколько решений имеет уравнение? введите наименьшее решение уравнения.

Давайте решим уравнение: \[ \sqrt{x} = x - 2 \] Шаг 1: Анализируем область определения. - В левой части у нас квадратный корень \(\sqrt{x}\). Он определён при \(x \geq 0\). - В правой части у нас выражение \(x - 2\). Это любое число, но чтобы равенство имело смысл, необходимы дополнительные условия. Также, так как \(\sqrt{x} \geq 0\), то и правая часть должна быть неотрицательной: \[ x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \] Итак, область определения для искомых решений: \[ x \geq 2 \] --- Шаг 2: Возводим обе части уравнения в квадрат (чтобы избавиться от корня), но при этом нужно быть аккуратным, так как при возведении в квадрат могут появиться лишние решения. \[ (\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2 \] \[ x = (x - 2)^2 \] Раскроем правую часть: \[ x = x^2 - 4x + 4 \] Перенесем все в левую часть: \[ 0 = x^2 - 4x + 4 - x \] \[ 0 = x^2 - 5x + 4 \] Это квадратичное уравнение: \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] Решим его с помощью дискриминанта: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \] Корни: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Шаг 3: Проверка полученных решений. - В области определения \(x \geq 2\), выбираем только решения, удовлетворяющие это условие. \[ x_1 = 4 \geq 2 \quad \Rightarrow \text{подходит} \] \[ x_2 = 1 \quad \Right \rightarrow \text{не подходит, так как } 1 < 2 \] - Проверим каждое решение подставляя в исходное уравнение: Для \(x = 4\): \[ \sqrt{4} = 4 - 2 \Rightarrow 2 = 2 \quad \text{верно} \] Для \(x = 1\): \[ \sqrt{1} = 1 - 2 \Rightarrow 1 = -1 \quad \text{неверно} \] Значит, единственное решение уравнения — \(x = 4\). --- **Ответ:** - **Количество решений:** 1 - **Наименьшее решение:** \(\boxed{4}\)