введите количество решений уравнения. введите наименьшее решение уравнения.
Рассмотрим данное уравнение:
\[ x(x - 5) + \frac{3}{x + 1} = \frac{3}{x + 1} + 6. \]
- Обратим внимание, что \(\frac{3}{x + 1}\) встречается с обеих сторон уравнения, поэтому:
\[ x(x - 5) + \frac{3}{x + 1} = \frac{3}{x + 1} + 6. \]
- Вычтем \(\frac{3}{x + 1}\) из обеих частей уравнения:
\[ x(x - 5) = 6. \]
- Раскроем скобки слева:
\[ x^2 - 5x = 6. \]
- Перенесем 6 в левую часть:
\[ x^2 - 5x - 6 = 0. \]
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
\[ D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 25 + 24 = 49. \]
Корни:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}. \]
- Найдём оба решения:
- \(x = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6\).
- \(x = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1\).
- Проверим, подходит ли каждое решение, ведь в исходном уравнении есть деление на \(x+1\), и \(x = -1\) вызывает деление на ноль, что недопустимо.
- Для \(x=6\):
Проверим исходное уравнение, подставив \(x=6\):
\[ 6(6 - 5) + \frac{3}{6 + 1} = \frac{3}{6 +1} + 6, \]
\[ 6 \times 1 + \frac{3}{7} = \frac{3}{7} + 6, \]
\[ 6 + \frac{3}{7} = \frac{3}{7} + 6, \]
что верно.
- Для \(x=-1\):
Подставим \(x=-1\):
\[ (-1)(-1 - 5) + \frac{3}{-1 + 1} = \frac{3}{-1 + 1} + 6, \]
\[ (-1)(-6) + \frac{3}{0} = \frac{3}{0} + 6, \]
здесь есть деление на ноль, значит \(x = -1\) не является решением.
Итого:
- Количество решений: 1 (единственное решение — \(x=6\)).
- Наименьшее решение: \( \boxed{6} \).
Если есть ещё вопросы, с удовольствием помогу!
