Рассмотрим систему уравнений:
[
\begin{cases}
y = x^2, \
x = y - 2.
\end{cases}
]
Шаг 1: Подставим выражение для ( y ) из первого уравнения во второе:
[
x = (x^2) - 2.
]
Шаг 2: Получили уравнение:
[
x = x^2 - 2.
]
Шаг 3: Перенесем все в одну сторону:
[
x^2 - x - 2 = 0.
]
Шаг 4: Решим это квадратное уравнение. Оно имеет вид:
[
ax^2 + bx + c = 0,
]
где (a=1), (b=-1), (c=-2).
Дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
]
Шаг 5: Найдем корни уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.
]
[
x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1.
]
Шаг 6: Теперь для каждого значения (x) найдем соответствующие (y):
При (x=2):
[
y = x^2 = 4.
]
Парой решений является ((x,y) = (2, 4)).
При (x=-1):
[
y = (-1)^2=1.
]
Парой решений является ((x,y) = (-1, 1)).
ИТОГ: В системе две точки пересечения, то есть два решения.
Ответ:
Система имеет 2 решений.
