сколько решений имеет эта система? заполните пропуски.
Рассмотрим систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x^2, \\ x = y - 2. \end{cases} \]
Шаг 1: Подставим выражение для \( y \) из первого уравнения во второе: \[ x = (x^2) - 2. \]
Шаг 2: Получили уравнение: \[ x = x^2 - 2. \]
Шаг 3: Перенесем все в одну сторону: \[ x^2 - x - 2 = 0. \]
Шаг 4: Решим это квадратное уравнение. Оно имеет вид: \[ ax^2 + bx + c = 0, \] где \(a=1\), \(b=-1\), \(c=-2\).
Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. \]
Шаг 5: Найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}. \]
\[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1. \]
Шаг 6: Теперь для каждого значения \(x\) найдем соответствующие \(y\):
При \(x=2\): \[ y = x^2 = 4. \] Парой решений является \((x,y) = (2, 4)\).
При \(x=-1\): \[ y = (-1)^2=1. \] Парой решений является \((x,y) = (-1, 1)\).
ИТОГ: В системе две точки пересечения, то есть два решения.
Ответ:
Система имеет 2 решений.
