Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.
Задано уравнение:
[
(x^2 + 3)^2 - 6(x^2 + 3) - 72 = 0.
]
Обратим внимание, что в уравнении встречается выражение (x^2 + 3). Введём новую переменную:
[
t = x^2 + 3.
]
Тогда уравнение перепишется в виде:
[
t^2 - 6t - 72 = 0.
]
Это квадратное уравнение относительно (t).
Решение уравнения относительно (t):
Используем формулу квадратичного уравнения:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
]
где (a=1), (b=-6), (c=-72).
Подставляем:
[
t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \times 1 \times (-72)}}{2 \times 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 288}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{2}.
]
Корень из 324:
[
\sqrt{324} = 18.
]
Следовательно:
[
t = \frac{6 \pm 18}{2}.
]
Рассмотрим два варианта:
- (t = \frac{6 + 18}{2} = \frac{24}{2} = 12).
- (t = \frac{6 - 18}{2} = \frac{-12}{2} = -6).
Возвращение к (x):
Итак, получим два уравнения для (x):
- (x^2 + 3 = 12 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3).
- (x^2 + 3 = -6 \Rightarrow x^2 = -9).
Так как (x^2 = -9) не имеет реальных решений, то решений в реальных числах у этого уравнения только два: (x = 3) и (x = -3).
Итог:
Ответ: у уравнения есть 2 решения: (x = 3) и (x = -3).
Если нужны комплексные решения, то они есть и для второго случая: (x = \pm 3i). Но в большинстве задач под решениями подразумеваются именно вещественные.
