В шар, площадь поверхности которого равна 100π, вписан цилиндр. Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен 4.

Рассмотрим задачу пошагово. **Дано:** - Площадь поверхности шара \( S_{шара} = 100\pi \). - Внутри шара находится вписанный цилиндр. - Радиус основания цилиндра \( r = 4 \). - Требуется найти высоту цилиндра \( h \). --- ### Шаг 1. Найдем радиус шара. Площадь поверхности шара выражается формулой: \[ S = 4\pi R^2 \] откуда \[ 100\pi = 4\pi R^2 \] Делим обе части на \( 4\pi \): \[ \frac{100\pi}{4\pi} = R^2 \Rightarrow 25 = R^2 \] Следовательно, \[ R = \sqrt{25} = 5 \] ***Ответ:** радиус шара равен 5.* --- ### Шаг 2. Связь между цилиндром и шаром. Так как цилиндр вписан в шар, то он полностью входит внутри шара. - Основания цилиндра – круги с радиусом 4, внутри шара радиуса 5. - Высота цилиндра \( h \) и радиус основания \( r=4 \). Положение цилиндра внутри шара может быть таким, что его центр находится вдоль оси шара. --- ### Шаг 3. Расположим цилиндр и найдем его высоту. Обозначим: - Центр шара в точке \( O \). - Центр цилиндра лежит в точке \( O' \), которая расположена вдоль оси, например, по вертикали. Радиус шара: \( R = 5 \). Радиус основания цилиндра: \( r = 4 \). Высота цилиндра \( h \). Пусть центр цилиндра расположен на высоте \( d \) от центра шара вдоль оси цилиндра. Тогда: - Расстояние от центра шара до любой точки основания цилиндра равно \( R \). - Расстояние от центра цилиндра до оснований равно \( h/2 \). Положение основания цилиндра относительно центра шара дает условие: \[ d + \frac{h}{2} \le R \] и \[ d - \frac{h}{2} \ge -R \] Или, в условных координатах, чтобы цилиндр «вписался» полностью внутри шара, центр цилиндра должен быть внутри шара, а радиус цилиндра – не превышать радиус шара на расстоянии до центра. То есть: \[ d^2 + r^2 \le R^2 \] Подставляем значения: \[ d^2 + 4^2 \le 5^2 \] \[ d^2 + 16 \le 25 \] \[ d^2 \le 9 \] Отсюда: \[ |d| \le 3 \] Это означает, что центр цилиндра должен находиться не дальше 3 единиц от центра шара вдоль оси. --- ### Шаг 4. Находим максимальную высоту цилиндра. Для максимальной высоты (чтобы цилиндр вписался максимально полно), центр цилиндра должен лежать в точке, где \( d = 0 \), то есть в центре шара. Тогда: - Расстояние от центра шара до верхней (или нижней) границы цилиндра равно половине высоты: \( h/2 \). - Расстояние от центра цилиндра до границы шара равно \( R = 5 \). Рассмотрим τросчастие цилиндра и шара: Высота \( h \) выбирается так, чтобы оба основания цилиндра не выходили за границы шара. Границы цилиндра по оси: \[ z = d \pm \frac{h}{2} \] Если центр цилиндра в центре шара (\( d=0 \)), то радиусы максимум, и расстояния до основания от центра совпадут с радиусом шара: \[ \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2} \le R \] Потому что \( (d)^2 + r^2 \le R^2 \), при \( d=0 \): \[ \left(\frac{h}{2}\right)^2 + 4^2 \le 5^2 \] \[ \frac{h^2}{4} + 16 \le 25 \] \[ \frac{h^2}{4} \le 9 \] \[ h^2 \le 36 \] \[ h \le 6 \] Значит, **максимальная высота цилиндра равна 6**. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{h = 6} \] Высота вписанного цилиндра равна **6**.