Давайте пошагово решим эту задачу.
Дано:
- Среднее арифметическое 25 чисел равно 17,5.
Что нужно найти:
- Какое новое среднее арифметическое будет, если к наибольшему и наименьшему числам в наборе прибавить 3.
Шаг 1: Найдём сумму всех чисел в наборе
Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, делённая на их количество:
[
\text{Среднее} = \frac{\text{Сумма всех чисел}}{\text{Количество чисел}}
]
Отсюда найдём сумму:
[
\text{Сумма} = \text{Среднее} \times \text{Количество} = 17{,}5 \times 25
]
Вычислим:
[
17{,}5 \times 25 = (17 + 0,5) \times 25 = 17 \times 25 + 0,5 \times 25 = 425 + 12,5 = 437,5
]
Итак, сумма всех 25 чисел равна 437,5.
Шаг 2: Обозначим исходные величины
- Пусть наименьшее число — это ( m ),
- наибольшее число — это ( M ),
- остальные 23 числа — это ( x_1, x_2, \ldots, x_{23} ).
Тогда:
[
m + \text{(остальные 23 числа)} + M = 437,5
]
Шаг 3: Что происходит при изменении?
- Мы добавляем 3 к наименьшему числу ( m ),
- и 3 к наибольшему числу ( M ).
Новые числа:
[
m' = m + 3, \quad M' = M + 3
]
Общая сумма после изменений:
[
S' = (m + 3) + \text{(остальные 23 числа)} + (M + 3) = (m + M) + 2 \times 3 + \text{(остальные 23 числа)}
]
Но так как сумма остальных 23 чисел и ( m, M ) вместе составляли 437,5, то:
[
S' = 437,5 + 6
]
Потому что мы прибавили 3 к наименьшему и наибольшему числам, итого — на 6 больше.
Шаг 4: Новое среднее
Общее число чисел не изменилось — их 25.
Поэтому новое среднее арифметическое:
[
\text{Новое среднее} = \frac{S'}{25} = \frac{437,5 + 6}{25} = \frac{443,5}{25}
]
Вычислим:
[
443,5 \div 25 = 17,74
]
Ответ:
Новое среднее арифметическое после прибавления 3 к наибольшему и наименьшему числам равно 17,74.
