Хорда AB окружности с центром O перпендикулярна радиусу OC и делит его пополам. Найдите угол AOB и ACB

Давайте разберемся с заданной задачей шаг за шагом и подробно объясним каждый этап решения. **Дано:** - Окружность с центром \( O \). - Хорда \( AB \), которая перпендикулярна радиусу \( OC \). - Хорда \( AB \) делит радиус \( OC \) пополам (то есть точка пересечения — середина \( OC \)). - Нужно найти углы \( \angle AOB \) и \( \angle ACB \). --- ### Шаг 1: Визуализация и обозначения Рассмотрим окружность с центром \( O \). Пусть: - \( C \) — точка на окружности, так как \( C \) — радиус (а так как радиус — точка на окружности). - \( OC \) — радиус, соединяющий центр \( O \) с точкой \( C \). - \( AB \) — хорда, перпендикулярна радиусу \( OC \). - Хорда \( AB \) делит радиус \( OC \) пополам, то есть точка пересечения \( M \) находится посередине \( OC \). Можно обозначить, что: - \( M \) — точка пересечения \( AB \) и \( OC \), причем \( M \) — середина \( OC \). Тогда: \[ OM = MC = \frac{OC}{2} \] ### Шаг 2: Анализ свойств - Так как \( AB \perp OC \) и \( M \in OC \)\, то \( M \) — точка на радиусе, где хорда \( AB \) перпендикулярна радиусу. - Точка \( M \) является проекцией точки пересечения \( AB \) на радиус \( OC \). - Поскольку \( AB \) перпендикулярна \( OC \), то \( OM \perp AB \). Также важно отметить: - \( OM \) — радиус, делящий \( OC \) пополам, а \( AB \) — хорда, проходящая через точку \( M \). - Хорда, перпендикулярная радиусу, которая делит его пополам, — это осевая хорда. ### Шаг 3: Используем свойства окружности и треугольников 1. **Угол \( \angle AOB \):** - В центре окружности \( O \) лежат точки \( A \) и \( B \). - \( A \) и \( B \) — концовые точки хорды \( AB \). - Угол \( \angle AOB \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \). 2. **Угол \( \angle ACB \):** - Тут речь идет о треугольнике \( ACB \), где \( C \) — точка на окружности, а \( A \) и \( B \) — тоже на окружности. --- ### Шаг 4: Связь между дугами и углами - **Центральный угол \( \angle AOB \)** равен дуге \( AB \): \[ \angle AOB = 2 \times \text{мера дуги } AB \] - **Угол \( \angle ACB \)** — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \): \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times \text{мера дуги } AB \] Это классическое свойство: **вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается**. --- ### Шаг 5: Нахождение углов Поскольку \( AB \) — хорда, перпендикулярная радиусу \( OC \), и делит его пополам, то: - Точка \( M \) — середина радиуса \( OC \). - Известно, что \( AB \) перпендикулярна \( OC \), а \( M \) — середина \( OC \). Это означает, что: - \( A \) и \( B \) лежат на окружности, а \( AB \) — хорда, проведенная так, что она перпендикулярна отрезку \( OC \) в его середине. Из этого следует: - Дуговая характеристика: дуга \( AB \) — дуга, которая занимается центр \( O \), и так как \( AB \) перпендикулярна радиусу \( OC \), то дуга \( AB \) — это полуокружность относительно центра \( O \), то есть дуга равна \( 180^\circ \). ### **Ответ:** - **Угол \( \angle AOB \):** Так как \( \angle AOB \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \), и дуга \( AB \) равна \( 180^\circ \): \[ \boxed{ \angle AOB = 180^\circ } \] - **Угол \( \angle ACB \):** Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу \( AB \): \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ \] --- ### Итог: \[ \boxed{ \text{Угол } \angle AOB = 180^\circ, \quad \text{а} \quad \angle ACB = 90^\circ } \] Если нужно более подробнее по каким-то аспектам или разъяснение, — обращайтесь!