Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность радиуса 3 см, известно, что сумма катетов равна 23 см, найдите AB.найдите площадь треугольника ABC

Давайте пошагово разберем задачу с рисунком и формулами. **Дано:** - Вписанная окружность треугольника ABC с радиусом r = 3 см. - Треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом C. - Катеты: \( AC = a \) и \( BC = b \). - \( a + b = 23 \) (сумма катетов). - Нужно найти гипотенузу \( AB \) и площадь треугольника. --- ### Шаг 1. Запишем известные и искомые величины: - \( r = 3 \) см (радиус вписанной окружности). - \( a + b = 23 \). - \( c = AB \) — гипотенуза треугольника (ищем). - Так как треугольник прямой, по теореме Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] --- ### Шаг 2. Связь между радиусом вписанной окружности и элементами треугольника Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности связан с катетами и гипотенузой формулой: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Так как радиус \( r = 3 \), получаем: \[ 3 = \frac{a + b - c}{2} \] или \[ a + b - c = 6 \] Но мы знаем, что: \[ a + b = 23 \] Подставляем: \[ 23 - c = 6 \] откуда: \[ c = 23 - 6 = 17 \] **Первый вывод:** Гипотенуза \( AB = c = 17 \) см. --- ### Шаг 3. Проверка и нахождение катетов Теперь у нас есть: - \( a + b = 23 \), - \( c = 17 \), - и по теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 17^2 = 289 \] Итак, система: \[ \begin{cases} a + b = 23 \\ a^2 + b^2 = 289 \end{cases} \] --- ### Шаг 4. Решение системы Выразим \( b = 23 - a \). Подставим в второе уравнение: \[ a^2 + (23 - a)^2 = 289 \] Экспандируем: \[ a^2 + (529 - 46a + a^2) = 289 \] \[ a^2 + 529 - 46a + a^2 = 289 \] \[ 2a^2 - 46a + 529 = 289 \] Перенесем все в левую часть: \[ 2a^2 - 46a + 529 - 289 = 0 \] \[ 2a^2 - 46a + 240 = 0 \] Разделим всю формулу на 2: \[ a^2 - 23a + 120 = 0 \] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = 23^2 - 4 \times 1 \times 120 = 529 - 480 = 49 \] Корни: \[ a = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{23 \pm 7}{2} \] Получаем два решения: - \( a = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) - \( a = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) Соответственно, для \( a = 15 \), тогда: \[ b = 23 - 15 = 8 \] И наоборот — для \( a = 8 \): \[ b = 23 - 8 = 15 \] **Катеты:** 8 и 15. --- ### Шаг 5. Находим площадь треугольника Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] Подставим: \[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = \frac{1}{2} \times 120 = 60 \] --- ### **Ответ:** - **Гипотенуза \( AB = 17 \) см.** - **Площадь треугольника \( S = 60 \) см².** Если нужно, я могу дополнительно помочь с пояснениями или графиками.