прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность радиуса 3 см, известно, что сумма катетов равна 23 см, найдите AB.найдите площадь треугольника ABC
Давайте пошагово разберем задачу с рисунком и формулами.
Дано:
- Вписанная окружность треугольника ABC с радиусом r = 3 см.
- Треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом C.
- Катеты: \( AC = a \) и \( BC = b \).
- \( a + b = 23 \) (сумма катетов).
- Нужно найти гипотенузу \( AB \) и площадь треугольника.
Шаг 1. Запишем известные и искомые величины:
- \( r = 3 \) см (радиус вписанной окружности).
- \( a + b = 23 \).
- \( c = AB \) — гипотенуза треугольника (ищем).
- Так как треугольник прямой, по теореме Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Шаг 2. Связь между радиусом вписанной окружности и элементами треугольника
Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности связан с катетами и гипотенузой формулой:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
Так как радиус \( r = 3 \), получаем:
\[ 3 = \frac{a + b - c}{2} \] или \[ a + b - c = 6 \]
Но мы знаем, что:
\[ a + b = 23 \]
Подставляем:
\[ 23 - c = 6 \] откуда:
\[ c = 23 - 6 = 17 \]
Первый вывод: Гипотенуза \( AB = c = 17 \) см.
Шаг 3. Проверка и нахождение катетов
Теперь у нас есть:
- \( a + b = 23 \),
- \( c = 17 \),
- и по теореме Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 = 17^2 = 289 \]
Итак, система:
\[ \begin{cases} a + b = 23 \\ a^2 + b^2 = 289 \end{cases} \]
Шаг 4. Решение системы
Выразим \( b = 23 - a \).
Подставим в второе уравнение:
\[ a^2 + (23 - a)^2 = 289 \] Экспандируем:
\[ a^2 + (529 - 46a + a^2) = 289 \] \[ a^2 + 529 - 46a + a^2 = 289 \] \[ 2a^2 - 46a + 529 = 289 \]
Перенесем все в левую часть:
\[ 2a^2 - 46a + 529 - 289 = 0 \] \[ 2a^2 - 46a + 240 = 0 \]
Разделим всю формулу на 2:
\[ a^2 - 23a + 120 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = 23^2 - 4 \times 1 \times 120 = 529 - 480 = 49 \]
Корни:
\[ a = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{23 \pm 7}{2} \]
Получаем два решения:
- \( a = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)
- \( a = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
Соответственно, для \( a = 15 \), тогда:
\[ b = 23 - 15 = 8 \]
И наоборот — для \( a = 8 \):
\[ b = 23 - 8 = 15 \]
Катеты: 8 и 15.
Шаг 5. Находим площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]
Подставим:
\[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = \frac{1}{2} \times 120 = 60 \]
Ответ:
- Гипотенуза \( AB = 17 \) см.
- Площадь треугольника \( S = 60 \) см².
Если нужно, я могу дополнительно помочь с пояснениями или графиками.
