Система совершила 314 колебаний за 100 с. За это время амплитуда колебаний уменьшилась в e раз. Определить добротность системы.

Давайте решим задачу поэтапно.

Дано:

• Количество колебаний за 100 с: \( N = 314 \)
• Время: \( t = 100 \text{ с} \)
• Амплитуда уменьшилась в \( e \) раз за это время.

Что нужно найти:

• Добротность системы \( Q \).

Шаг 1. Найти частоту колебаний \(f\)

Количество колебаний за время \(t\): \[ N = f \times t \implies f = \frac{N}{t} = \frac{314}{100} = 3.14 \text{ Гц} \]

Шаг 2. Определить затухание амплитуды

Дано, что амплитуда уменьшилась в \( e \) раз за время \( t \). В колебательных системах с затуханием амплитуда \(A(t)\) со временем уменьшается по экспоненциальному закону:

\[ A(t) = A_0 e^{-\frac{\omega t}{2Q}} \]

где:

• \(A_0\) — начальная амплитуда,
• \(\omega = 2\pi f\) — циклическая частота,
• \(Q\) — добротность.

При этом, за время \(t\), амплитуда уменьшилась в \(e\) раз, значит:

\[ A(t) = \frac{A_0}{e} \]

Подставим в выражение для \(A(t)\):

\[ \frac{A_0}{e} = A_0 e^{-\frac{\omega t}{2Q}} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{e} = e^{-\frac{\omega t}{2Q}} \]

Возьмём натуральный логарифм:

\[ -\!1 = -\frac{\omega t}{2Q} \] \[ \Rightarrow \frac{\omega t}{2Q} = 1 \]

Шаг 3. Выразить \(Q\):

\[ Q = \frac{\omega t}{2} \]

Подставим \(\omega = 2\pi f\):

\[ Q = \frac{2\pi f t}{2} = \pi f t \]

Подставим известные значения:

\[ Q = \pi \times 3.14 \times 100 \]

Вычислим:

\[ Q \approx 3.14 \times 3.14 \times 100 \] \[ Q \approx 9.86 \times 100 = 986 \]

Ответ:

Добротность системы составляет примерно \(\boxed{986}\).