Давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
- Количество колебаний за 100 с: ( N = 314 )
- Время: ( t = 100 \text{ с} )
- Амплитуда уменьшилась в ( e ) раз за это время.
Что нужно найти:
- Добротность системы ( Q ).
Шаг 1. Найти частоту колебаний (f)
Количество колебаний за время (t):
[
N = f \times t \implies f = \frac{N}{t} = \frac{314}{100} = 3.14 \text{ Гц}
]
Шаг 2. Определить затухание амплитуды
Дано, что амплитуда уменьшилась в ( e ) раз за время ( t ). В колебательных системах с затуханием амплитуда (A(t)) со временем уменьшается по экспоненциальному закону:
[
A(t) = A_0 e^{-\frac{\omega t}{2Q}}
]
где:
- (A_0) — начальная амплитуда,
- (\omega = 2\pi f) — циклическая частота,
- (Q) — добротность.
При этом, за время (t), амплитуда уменьшилась в (e) раз, значит:
[
A(t) = \frac{A_0}{e}
]
Подставим в выражение для (A(t)):
[
\frac{A_0}{e} = A_0 e^{-\frac{\omega t}{2Q}}
]
[
\Rightarrow \frac{1}{e} = e^{-\frac{\omega t}{2Q}}
]
Возьмём натуральный логарифм:
[
-!1 = -\frac{\omega t}{2Q}
]
[
\Rightarrow \frac{\omega t}{2Q} = 1
]
Шаг 3. Выразить (Q):
[
Q = \frac{\omega t}{2}
]
Подставим (\omega = 2\pi f):
[
Q = \frac{2\pi f t}{2} = \pi f t
]
Подставим известные значения:
[
Q = \pi \times 3.14 \times 100
]
Вычислим:
[
Q \approx 3.14 \times 3.14 \times 100
]
[
Q \approx 9.86 \times 100 = 986
]
Ответ:
Добротность системы составляет примерно (\boxed{986}).
