разложить на множители 1) -9/64n⁶-3mn⁵-16m²n⁴ 2)20z²+3xy-15xz-4yz 3) 0,027a¹²+b⁹
Конечно! Вот подробные решения для каждой задачи с объяснениями, подходящими для учеников 7 класса, чтобы помочь понять процесс разложения на множители.
1) Разложить на множители: \(-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4\)
Шаг 1: Обратим внимание на общий вид выражения.
Вначале заметим, что все слагаемые содержат множитель \(n^4\): \[ -\frac{9}{64}n^6, \quad -3mn^5, \quad -16m^2n^4 \]
Шаг 2: Вынесем общий множитель.
Самое маленькое степень \(n\) — это \(n^4\). Вынесем его за скобки, а также вынесем общие числа и \(m\):
\[ n^4 \left( -\frac{9}{64}n^2 - 3mn - 16m^2 \right) \]
Обратите внимание, что в скобках осталось выражение:
\[ -\frac{9}{64}n^2 - 3mn - 16m^2 \]
Шаг 3: Представим выражение в скобках как квадрат или используй известную формулу. Но здесь лучше упростить или выразить его как квадрат, заметив, что это похоже на квадрат бинома.
Посмотрим на общую структуру:
\[ A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 \]
Может ли выражение в скобках быть квадратом?
Проверим:
\[ \left( a n + b m \right)^2 = a^2 n^2 + 2 a b n m + b^2 m^2 \]
Наше выражение:
\[ -\frac{9}{64} n^2 - 3 m n - 16 m^2 \]
Можно ошибочно почувствовать, что это не квадрат, потому что один из коэффициентов отрицательный. То есть, попробуем представить его в виде:
\[ \left( p n + q m \right)^2 \]
Раскроем:
\[ p^2 n^2 + 2 p q n m + q^2 m^2 \]
Чтобы совпадали коэффициенты:
\[ p^2 = -\frac{9}{64} \quad \Rightarrow \quad p^2 < 0 \]
Что невозможно для реальных чисел, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Следовательно, в данном случае лучше оставить выражение, как есть, или разложить по частям.
Итог: Можно оставить разложение на множители, вынеся общий множитель \(n^4\):
\[ \boxed{ n^4 \left( -\frac{9}{64} n^2 - 3 m n - 16 m^2 \right) } \]
2) Разложить на множители: \(20z^2 + 3xy - 15xz - 4yz\)
Шаг 1: Посмотрим на выражение.
Обратите внимание, что можно попробовать сгруппировать его по частям:
\[ (20z^2) + (3 xy - 15 xz - 4 yz) \]
Подумаем о группировке. Можно разделить на две части:
\[ (20z^2) + (3 xy - 15 xz - 4 yz) \]
или рассмотреть более интересное расположение, например, разбить на группы:
\[ (\, 20z^2 \, ) + ( 3 xy - 15 xz - 4 yz ) \]
Шаг 2: Попробуем сгруппировать оставшиеся 3-членная части по факторам:
- Заметим, что вторая часть содержит слагаемые с похожими переменными \( x \) и \( y, z \):
\[ 3 xy - 15 xz - 4 yz \]
Посмотрим, можем ли мы сгруппировать их так, чтобы вынести общий множитель.
Перегруппируем:
\[ 3 xy - 15 xz = 3 x y - 3 \times 5 x z \]
Можно вынести:
\[ 3 x ( y - 5 z ) \]
Теперь у нас осталась часть \(- 4 y z\), её можно оставить как есть.
Итак, исходное выражение можно переписать так:
\[ 20 z^2 + 3 x ( y - 5 z ) - 4 y z \]
Шаг 3: Попробуем скомбинировать или еще раз сгруппировать.
Рассмотрим, есть ли возможность представить это как произведение двух двучленных выражений.
Обратите внимание на то, что получается сложное выражение, и более удобно будет найти его разложение, предположив, что оно равно:
\[ ( A z + B y + C x )( D z + E y + F x ) \]
или попробовать всякие подходы к группе.
Но поскольку это сложное выражение, лучше оставить его как есть:
\[ \boxed{ 20 z^2 + 3 x ( y - 5 z ) - 4 y z } \]
или преподнести его с помощью разложения на множители, если есть.
3) Разложить на множители: \(0.027 a^{12} + b^9\)
Шаг 1: Заметим, что числа: \(0.027 = \frac{27}{1000}\), так как:
\[ 0.027 = \frac{27}{1000} \]
или проще: \(0.027 = \left( \frac{3}{10} \right)^3\), потому что
\[ \left( \frac{3}{10} \right)^3 = \frac{3^3}{10^3} = \frac{27}{1000} = 0.027 \]
Шаг 2: Запишем выражение так:
\[ \left( \frac{3}{10} \right)^3 a^{12} + b^{9} \]
Это можно представить как сумму кубов:
\[ A^3 + B^3 \]
где:
\[ A = \left( \frac{3}{10} \right) a^4, \quad B = b^3 \]
так как:
\[ A^3 = \left( \left( \frac{3}{10} \right) a^4 \right)^3 = \left( \frac{3}{10} \right)^3 a^{12} = 0.027 a^{12} \] \[ B^3 = (b^3)^3 = b^{9} \]
Шаг 3: Формула разложения суммы кубов:
\[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - A B + B^2) \]
Подставим \(A\) и \(B\):
\[ \left( \frac{3}{10} a^4 + b^3 \right) \left( \left( \frac{3}{10} a^4 \right)^2 - \left( \frac{3}{10} a^4 \right) b^3 + b^6 \right) \]
Раскроем скобки внутри второго множителя:
\[ \left( \frac{9}{100} a^8 - \frac{3}{10} a^4 b^3 + b^6 \right) \]
Итоговое разложение:
\[ \boxed{ \left( \frac{3}{10} a^4 + b^3 \right) \left( \frac{9}{100} a^8 - \frac{3}{10} a^4 b^3 + b^6 \right) } \]
Если нужен ответ в виде более простых дробей без дробных чисел — уточняйте!
Если нужно подробнее объяснить любой из шагов или есть другие вопросы — обращайтесь!
