Рассмотрим задачу о радиоактивном распаде, в которой необходимо найти относительное число распавшихся ядер за некоторое время, исходя из заданных данных.
Дано:
- ( N_0 ) — начальное число ядер
- Время, прошедшее: ( t = 0,09T_{1/2} ), где ( T_{1/2} ) — период полураспада радиоактивного элемента.
Задача просит найти относительное число распавшихся ядер после этого времени. Это означает, нам нужно определить долю ядер, которые распались за это время, то есть (\frac{\Delta N}{N_0}).
Шаг 1: Формулы радиоактивного распада
Количество ядер, оставшихся после времени ( t ):
[
N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
]
Количество распавшихся ядер:
[
\Delta N = N_0 - N(t)
]
Относительное число распавшихся ядер:
[
\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - \frac{N(t)}{N_0} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
]
Шаг 2: Подставляем значение ( t = 0,09T_{1/2} )
[
\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{0,09}
]
Шаг 3: Вычисление
Посчитаем ( \left(\frac{1}{2}\right)^{0,09} ):
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{0,09} = e^{0,09 \ln{\frac{1}{2}}}
]
где ( \ln{\frac{1}{2}} = -\ln 2 \approx -0,6931 ).
Итак,
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{0,09} = e^{0,09 \times -0,6931} = e^{-0,062378} \approx 0,9394
]
Тогда,
[
\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - 0,9394 = 0,0606
]
Ответ (округление до сотых):
[
\boxed{0,06}
]
Итог: За время, равное 0,09 периода полураспада, распадается примерно 6,06% ядер исходного количества.
