Решить неравенства

Давайте подробно решим каждое из предложенных неравенств. --- ### 1. Неравенство: \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \) Это квадратное неравенство. Сначала найдем его корни, решая уравнение: \[ 4x^2 - 12x + 9 = 0 \] Шаги: - Вычислим дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 \] Так как дискриминант равен 0, у уравнения есть один корень: \[ x = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \] Поскольку дискриминант равен 0, квадратичная функция графика — парабола, которая касается оси x в одной точке — вершине. В данной ситуации, так как коэффициент при \(x^2\) положителен (4 > 0), парабола открыта вверх. Значит, функция \( 4x^2 - 12x + 9 \ge 0 \) для всех \(x\), за исключением точки вершины, где значение равно 0. Но так как нам нужно \( > 0 \), то неравенство выполняется для всех значений \(x\), кроме: \[ x = \frac{3}{2} \] Ответ: \[ x \in (-\infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) \] или более коротко: \[ x \neq \frac{3}{2} \] --- ### 2. Неравенство: \( x^2 - 14x + 49 \ge 0 \) Решим уравнение: \[ x^2 - 14x + 49 = 0 \] Здесь: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 196 - 196 = 0 \] Уравнение имеет один корень: \[ x = \frac{14}{2} = 7 \] Поскольку дискриминант равен нулю, парабола касается оси \(x\) в одной точке и принимает значение 0 в этом месте. Значит: \[ x^2 - 14x + 49 \ge 0 \] выполняется при всех \(x\) кроме точки \(x=7\), где выражение равно 0, и неравенство включает равенство, поэтому: \[ x \in (-\infty, 7] \cup [7, +\infty) = \mathbb{R} \] Но поскольку уравнение равно нулю только в точке \(x=7\), и выражение ≥0 везде, то оно истинно для **всех** \(x\): \[ x \in \mathbb{R} \] --- ### 3. Неравенство: \( 9x^2 + 30x + 25 < 0 \) Решим уравнение: \[ 9x^2 + 30x + 25 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 30^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0 \] Корень: \[ x = \frac{-30}{2 \cdot 9} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3} \] Так как дискриминант равен нулю, выражение равно 0 в единственной точке \(x = -\frac{5}{3}\). Парабола открыта вверх (коэффициент при \(x^2\) — 9 > 0), следовательно, выражение \(<0\) возможно только при значения, которые лежат вне корней — в интервале между корнями для функции, которая «опущена» вниз. Но так как дискриминант нулевой, то значение равно 0 только в одной точке и не бывает меньше 0 нигде. Следовательно, неравенство \[ 9x^2 + 30x + 25 < 0 \] не выполняется ни при каких \(x\). Ответ: \[ \text{нет решений} \] --- ### 4. Неравенство: \( (x + 3)^2 - 16 \le (1 - 2x)^2 \) Раскроем скобки и упростим: \[ (x + 3)^2 - 16 \le (1 - 2x)^2 \] Раскроем квадраты: \[ x^2 + 6x + 9 - 16 \le 1 - 4x + 4x^2 \] \[ x^2 + 6x - 7 \le 1 - 4x + 4x^2 \] Перенесем всё на левую сторону: \[ x^2 + 6x - 7 - 1 + 4x - 4x^2 \le 0 \] \[ x^2 - 4x^2 + 6x + 4x - 7 - 1 \le 0 \] \[ -3x^2 + 10x - 8 \le 0 \] Делим неравенство на \(-1\), при этом знак неравенства меняется: \[ 3x^2 - 10x + 8 \ge 0 \] Теперь решим это квадратное неравенство: \[ 3x^2 - 10x + 8 \ge 0 \] Найдем корни уравнения: \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 \] Корни: \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 2}{6} \] - \( x_1 = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \) - \( x_2 = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2 \) Парабола \( 3x^2 - 10x + 8 \) «вершиной» вниз (коэффициент при \(x^2\) положителен), и оно ≥ 0 за пределами интервала между корнями. Ответ: \[ x \le \frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x \ge 2 \] --- ### Итоговые решения: 1. \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \implies x \neq \frac{3}{2} \) 2. \( x^2 - 14x + 49 \ge 0 \implies x \in \mathbb{R} \) 3. \( 9x^2 + 30x + 25 < 0 \implies \text{нет решений} \) 4. \( (x + 3)^2 - 16 \le (1 - 2x)^2 \implies x \le \frac{4}{3} \text{ или } x \ge 2 \) Если нужно подробнее по какому-либо пункту — спрашивайте!