решить неравенства
Давайте подробно решим каждое из предложенных неравенств.
1. Неравенство: \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \)
Это квадратное неравенство. Сначала найдем его корни, решая уравнение: \[ 4x^2 - 12x + 9 = 0 \]
Шаги:
- Вычислим дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 \]
Так как дискриминант равен 0, у уравнения есть один корень: \[ x = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]
Поскольку дискриминант равен 0, квадратичная функция графика — парабола, которая касается оси x в одной точке — вершине. В данной ситуации, так как коэффициент при \(x^2\) положителен (4 > 0), парабола открыта вверх.
Значит, функция \( 4x^2 - 12x + 9 \ge 0 \) для всех \(x\), за исключением точки вершины, где значение равно 0.
Но так как нам нужно \( > 0 \), то неравенство выполняется для всех значений \(x\), кроме: \[ x = \frac{3}{2} \]
Ответ: \[ x \in (-\infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) \] или более коротко: \[ x \neq \frac{3}{2} \]
2. Неравенство: \( x^2 - 14x + 49 \ge 0 \)
Решим уравнение: \[ x^2 - 14x + 49 = 0 \]
Здесь: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 196 - 196 = 0 \]
Уравнение имеет один корень: \[ x = \frac{14}{2} = 7 \]
Поскольку дискриминант равен нулю, парабола касается оси \(x\) в одной точке и принимает значение 0 в этом месте.
Значит: \[ x^2 - 14x + 49 \ge 0 \] выполняется при всех \(x\) кроме точки \(x=7\), где выражение равно 0, и неравенство включает равенство, поэтому: \[ x \in (-\infty, 7] \cup [7, +\infty) = \mathbb{R} \]
Но поскольку уравнение равно нулю только в точке \(x=7\), и выражение ≥0 везде, то оно истинно для всех \(x\): \[ x \in \mathbb{R} \]
3. Неравенство: \( 9x^2 + 30x + 25 < 0 \)
Решим уравнение: \[ 9x^2 + 30x + 25 = 0 \]
Дискриминант: \[ D = 30^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0 \]
Корень: \[ x = \frac{-30}{2 \cdot 9} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3} \]
Так как дискриминант равен нулю, выражение равно 0 в единственной точке \(x = -\frac{5}{3}\).
Парабола открыта вверх (коэффициент при \(x^2\) — 9 > 0), следовательно, выражение \(<0\) возможно только при значения, которые лежат вне корней — в интервале между корнями для функции, которая «опущена» вниз.
Но так как дискриминант нулевой, то значение равно 0 только в одной точке и не бывает меньше 0 нигде. Следовательно, неравенство \[ 9x^2 + 30x + 25 < 0 \] не выполняется ни при каких \(x\).
Ответ: \[ \text{нет решений} \]
4. Неравенство: \( (x + 3)^2 - 16 \le (1 - 2x)^2 \)
Раскроем скобки и упростим:
\[ (x + 3)^2 - 16 \le (1 - 2x)^2 \]
Раскроем квадраты: \[ x^2 + 6x + 9 - 16 \le 1 - 4x + 4x^2 \] \[ x^2 + 6x - 7 \le 1 - 4x + 4x^2 \]
Перенесем всё на левую сторону: \[ x^2 + 6x - 7 - 1 + 4x - 4x^2 \le 0 \] \[ x^2 - 4x^2 + 6x + 4x - 7 - 1 \le 0 \] \[ -3x^2 + 10x - 8 \le 0 \]
Делим неравенство на \(-1\), при этом знак неравенства меняется: \[ 3x^2 - 10x + 8 \ge 0 \]
Теперь решим это квадратное неравенство: \[ 3x^2 - 10x + 8 \ge 0 \]
Найдем корни уравнения: \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 \]
Корни: \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 2}{6} \]
- \( x_1 = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)
- \( x_2 = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2 \)
Парабола \( 3x^2 - 10x + 8 \) «вершиной» вниз (коэффициент при \(x^2\) положителен), и оно ≥ 0 за пределами интервала между корнями.
Ответ: \[ x \le \frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x \ge 2 \]
Итоговые решения:
- \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \implies x \neq \frac{3}{2} \)
- \( x^2 - 14x + 49 \ge 0 \implies x \in \mathbb{R} \)
- \( 9x^2 + 30x + 25 < 0 \implies \text{нет решений} \)
- \( (x + 3)^2 - 16 \le (1 - 2x)^2 \implies x \le \frac{4}{3} \text{ или } x \ge 2 \)
Если нужно подробнее по какому-либо пункту — спрашивайте!
