Конечно! Давайте подробно решим данный определённый интеграл:
[
\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) , dx
]
Шаг 1: Найдём первообразную для функции ( 3x^2 - 2x + 1 )
Общая стратегия при вычислении определённых интегралов — найти первообразную функции, а затем применить формулу Ньютона-Лейбница.
Общая формула для первообразной — это интегрирование по частям, где для каждого члена ищем отдельную первообразную:
[
\int (ax^n) , dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + C
]
Давайте для каждого члена найдём первообразную:
- ( 3x^2 ):
[
\int 3x^2 , dx = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} = x^3
]
- ( -2x ):
[
\int -2x , dx = -2 \cdot \frac{x^{2}}{2} = -x^2
]
- ( 1 ):
[
\int 1 , dx = x
]
Объединяя всё, получаем первообразную функции:
[
F(x) = x^3 - x^2 + x
]
Шаг 2: Используем формулу для вычисления определённого интеграла
Формула Ньютона-Лейбница:
[
\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)
]
Значит,
[
\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) , dx = F(2) - F(1)
]
Вычислим:
- ( F(2) = (2)^3 - (2)^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6 )
- ( F(1) = (1)^3 - (1)^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 )
Шаг 3: Ответ
[
\boxed{
\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) dx = 6 - 1 = 5
}
]
Если нужно, могу объяснить любые этапы подробнее!
