Вычислить определенные интегралы: 1. integrate (3x ^ 2 - 2x + 1) dx from 1 to 2
Конечно! Давайте подробно решим данный определённый интеграл:
\[ \int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx \]
Шаг 1: Найдём первообразную для функции \( 3x^2 - 2x + 1 \)
Общая стратегия при вычислении определённых интегралов — найти первообразную функции, а затем применить формулу Ньютона-Лейбница.
Общая формула для первообразной — это интегрирование по частям, где для каждого члена ищем отдельную первообразную:
\[ \int (ax^n) \, dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + C \]
Давайте для каждого члена найдём первообразную:
- \( 3x^2 \):
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} = x^3 \]
- \( -2x \):
\[ \int -2x \, dx = -2 \cdot \frac{x^{2}}{2} = -x^2 \]
- \( 1 \):
\[ \int 1 \, dx = x \]
Объединяя всё, получаем первообразную функции:
\[ F(x) = x^3 - x^2 + x \]
Шаг 2: Используем формулу для вычисления определённого интеграла
Формула Ньютона-Лейбница:
\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \]
Значит,
\[ \int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = F(2) - F(1) \]
Вычислим:
- \( F(2) = (2)^3 - (2)^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6 \)
- \( F(1) = (1)^3 - (1)^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \)
Шаг 3: Ответ
\[ \boxed{ \int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) dx = 6 - 1 = 5 } \]
Если нужно, могу объяснить любые этапы подробнее!
