Давайте решим задачу — найдём первообразную функции (\int (x \cdot \sqrt{x} - x) , dx).
Шаг 1: Упростить интеграл
Интересующий нас интеграл:
[
\int (x \cdot \sqrt{x} - x) , dx
]
Перепишем более удобно:
[
\int \left( x \cdot \sqrt{x} - x \right) dx
]
Поскольку (\sqrt{x} = x^{1/2}), то:
[
x \cdot \sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}
]
Значит, интеграл:
[
\int \left( x^{3/2} - x \right) dx
]
Теперь задача сводится к нахождению первообразных для каждого члена.
Шаг 2: Найдём первообразные каждого члена
Первый член: (\int x^{3/2} , dx)
Используем формулу для интеграла степенной функции:
[
\int x^{n} , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
]
Здесь (n = \frac{3}{2}), тогда:
[
\int x^{3/2} dx = \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} = \frac{x^{5/2}}{5/2}
]
Обратим делитель:
[
\frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} x^{5/2}
]
Второй член: (\int -x , dx)
Это обычный интеграл:
[
\int -x , dx = - \frac{x^2}{2}
]
Шаг 3: Запишем итог
Общая первообразная:
[
F(x) = \frac{2}{5} x^{5/2} - \frac{x^2}{2} + C
]
Где (C) — произвольная константа.
Итог
Ответ:
[
\boxed{
\int (x \cdot \sqrt{x} - x) , dx = \frac{2}{5} x^{5/2} - \frac{x^2}{2} + C
}
]
Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — скажи!
