Найди первообразную интеграла (Х × корень Х - Х)дХ

Давайте решим задачу — найдём первообразную функции \(\int (x \cdot \sqrt{x} - x) \, dx\).

Шаг 1: Упростить интеграл

Интересующий нас интеграл: \[ \int (x \cdot \sqrt{x} - x) \, dx \]

Перепишем более удобно: \[ \int \left( x \cdot \sqrt{x} - x \right) dx \]

Поскольку \(\sqrt{x} = x^{1/2}\), то: \[ x \cdot \sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2} \]

Значит, интеграл: \[ \int \left( x^{3/2} - x \right) dx \]

Теперь задача сводится к нахождению первообразных для каждого члена.

Шаг 2: Найдём первообразные каждого члена

Первый член: \(\int x^{3/2} \, dx\)

Используем формулу для интеграла степенной функции: \[ \int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Здесь \(n = \frac{3}{2}\), тогда: \[ \int x^{3/2} dx = \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} \]

Обратим делитель: \[ \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} x^{5/2} \]

Второй член: \(\int -x \, dx\)

Это обычный интеграл: \[ \int -x \, dx = - \frac{x^2}{2} \]

Шаг 3: Запишем итог

Общая первообразная: \[ F(x) = \frac{2}{5} x^{5/2} - \frac{x^2}{2} + C \]

Где \(C\) — произвольная константа.

Итог

Ответ:
\[ \boxed{ \int (x \cdot \sqrt{x} - x) \, dx = \frac{2}{5} x^{5/2} - \frac{x^2}{2} + C } \]

Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — скажи!