Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1/2, а сумма ее квадратов равна 1/12 Найди первый член прогрессии
Рассмотрим задачу:
Дано:
- Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна \(\frac{1}{2}\).
- Сумма её квадратов равна \(\frac{1}{12}\).
Обозначим:
- Первый член прогрессии: \(a\),
- Общий множитель (разность): \(q\), при этом \(|q| < 1\) (так как прогрессия убывает и сумма бесконечно).
Шаг 1: Формулы для суммы бесконечной геометрической прогрессии и её квадратов.
Для бесконечной геометрической прогрессии: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] где \(S\) — сумма прогрессии (\(\frac{1}{2}\)).
Для суммы квадратов прогрессии: \[ S_{q^2} = \frac{a^2}{1 - q^2} \] где \(S_{q^2} = \frac{1}{12}\).
Шаг 2: Запишем известные данные через эти формулы:
\[ \frac{a}{1 - q} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{a^2}{1 - q^2} = \frac{1}{12} \]
Шаг 3: Выразим \(a\) через \(q\):
Из первого уравнения: \[ a = \frac{1}{2} (1 - q) \]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[ \frac{\left(\frac{1}{2} (1 - q)\right)^2}{1 - q^2} = \frac{1}{12} \]
Рассчитаем чис numerator:
\[ \frac{\frac{1}{4} (1 - q)^2}{1 - q^2} = \frac{1}{12} \]
Упростим левую часть:
\[ \frac{(1 - q)^2}{4(1 - q^2)} = \frac{1}{12} \]
Шаг 4: Упростим выражение:
Обратим внимание, что \(1 - q^2 = (1 - q)(1 + q)\). Тогда:
\[ \frac{(1 - q)^2}{4 (1 - q)(1 + q)} = \frac{1}{12} \]
Удалим общий множитель \((1 - q)\) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{(1 - q)}{4 (1 + q)} = \frac{1}{12} \]
Шаг 5: Решим полученное уравнение:
Умножим обе части на \(4 (1 + q)\):
\[ (1 - q) = \frac{1}{12} \times 4 (1 + q) \]
Упростим правую часть:
\[ (1 - q) = \frac{4}{12} (1 + q) = \frac{1}{3} (1 + q) \]
Рассмотрим уравнение:
\[ (1 - q) = \frac{1 + q}{3} \]
Перенесём все в левую часть:
\[ 3(1 - q) = 1 + q \]
Распишем левую часть:
\[ 3 - 3q = 1 + q \]
Перенесем все с \(q\) в левую и остальное — в правую сторону:
\[ 3 - 1 = 3q + q \]
\[ 2 = 4q \]
Отсюда:
\[ q = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Шаг 6: Найдём первый член \(a\):
Из ранее полученного выражения:
\[ a = \frac{1}{2} (1 - q) \]
Подставим \(q = \frac{1}{2}\):
\[ a = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Ответ:
Первый член прогрессии равен \(\boxed{\frac{1}{4}}\).
