Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1/2, а сумма ее квадратов равна 1/12 Найди первый член прогрессии

Рассмотрим задачу: Дано: - Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна \(\frac{1}{2}\). - Сумма её квадратов равна \(\frac{1}{12}\). Обозначим: - Первый член прогрессии: \(a\), - Общий множитель (разность): \(q\), при этом \(|q| < 1\) (так как прогрессия убывает и сумма бесконечно). --- ### Шаг 1: Формулы для суммы бесконечной геометрической прогрессии и её квадратов. Для бесконечной геометрической прогрессии: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] где \(S\) — сумма прогрессии (\(\frac{1}{2}\)). Для суммы квадратов прогрессии: \[ S_{q^2} = \frac{a^2}{1 - q^2} \] где \(S_{q^2} = \frac{1}{12}\). --- ### Шаг 2: Запишем известные данные через эти формулы: \[ \frac{a}{1 - q} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{a^2}{1 - q^2} = \frac{1}{12} \] --- ### Шаг 3: Выразим \(a\) через \(q\): Из первого уравнения: \[ a = \frac{1}{2} (1 - q) \] Подставим это выражение во второе уравнение: \[ \frac{\left(\frac{1}{2} (1 - q)\right)^2}{1 - q^2} = \frac{1}{12} \] Рассчитаем чис numerator: \[ \frac{\frac{1}{4} (1 - q)^2}{1 - q^2} = \frac{1}{12} \] Упростим левую часть: \[ \frac{(1 - q)^2}{4(1 - q^2)} = \frac{1}{12} \] --- ### Шаг 4: Упростим выражение: Обратим внимание, что \(1 - q^2 = (1 - q)(1 + q)\). Тогда: \[ \frac{(1 - q)^2}{4 (1 - q)(1 + q)} = \frac{1}{12} \] Удалим общий множитель \((1 - q)\) в числителе и знаменателе: \[ \frac{(1 - q)}{4 (1 + q)} = \frac{1}{12} \] --- ### Шаг 5: Решим полученное уравнение: Умножим обе части на \(4 (1 + q)\): \[ (1 - q) = \frac{1}{12} \times 4 (1 + q) \] Упростим правую часть: \[ (1 - q) = \frac{4}{12} (1 + q) = \frac{1}{3} (1 + q) \] Рассмотрим уравнение: \[ (1 - q) = \frac{1 + q}{3} \] Перенесём все в левую часть: \[ 3(1 - q) = 1 + q \] Распишем левую часть: \[ 3 - 3q = 1 + q \] Перенесем все с \(q\) в левую и остальное — в правую сторону: \[ 3 - 1 = 3q + q \] \[ 2 = 4q \] Отсюда: \[ q = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] --- ### Шаг 6: Найдём первый член \(a\): Из ранее полученного выражения: \[ a = \frac{1}{2} (1 - q) \] Подставим \(q = \frac{1}{2}\): \[ a = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] --- ### **Ответ:** **Первый член прогрессии равен \(\boxed{\frac{1}{4}}\).**