x 2 x − 1 = 15 − 8 x 1 − x x−1 x 2 = 1−x 15−8x .
Давайте подробно разберём ваше уравнение:
\[ x^2 - 1 = \frac{15 - 8x}{x - 1} \]
Шаг 1. Обозначим уравнение:
\[ x^2 - 1 = \frac{15 - 8x}{x - 1} \]
Обратите внимание, что в правой части есть деление на \( x - 1 \). Чтобы избежать деления на ноль, необходимо учитывать, что \( x \neq 1 \).
Шаг 2. Упростим уравнение, убрав дробь, умножив обе части уравнения на знаменатель \( x - 1 \):
\[ (x^2 - 1)(x - 1) = 15 - 8x \]
Шаг 3. Раскроем скобки слева.
Используем формулу разности квадратов \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \):
\[ (x - 1)(x + 1)(x - 1) = 15 - 8x \]
Это равно:
\[ (x - 1)^2 (x + 1) = 15 - 8x \]
Шаг 4. Раскроем квадрат:
\[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \]
Тогда уравнение становится:
\[ (x^2 - 2x + 1)(x + 1) = 15 - 8x \]
Шаг 5. Раскроем скобки слева:
\[ \begin{aligned} (x^2 - 2x + 1)(x + 1) &= (x^2 - 2x + 1) \cdot x + (x^2 - 2x + 1) \cdot 1 \\ &= x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 2x + 1 \\ &= x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 2x + 1 \\ &= x^3 - x^2 - x + 1 \end{aligned} \]
Итак, уравнение преобразовалось в:
\[ x^3 - x^2 - x + 1 = 15 - 8x \]
Шаг 6. Перенесем все члены в левую сторону, чтобы получить уравнение равное нулю:
\[ x^3 - x^2 - x + 1 - 15 + 8x = 0 \]
Объединим подобные:
\[ x^3 - x^2 + 7x - 14 = 0 \]
Такое уравнение — кубическое. Попробуем найти рациональные корни, используя теорему Виета. Возможные рациональные корни делятся на делители свободного члена (-14) и делители leading coefficient (1):
Делители -14: \(\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14\)
Проверим каждое значение на подстановку в уравнение:
Шаг 7. Проверим \( x=1 \):
\[ 1^3 - 1^2 + 7 \cdot 1 - 14 = 1 - 1 + 7 - 14 = -7 \neq 0 \]
Шаг 8. Проверим \( x=-1 \):
\[ (-1)^3 - (-1)^2 + 7 \cdot (-1) - 14 = -1 - 1 - 7 - 14 = -23 \neq 0 \]
Шаг 9. Проверим \( x=2 \):
\[ 8 - 4 + 14 - 14 = 4 \neq 0 \]
Шаг 10. Проверим \( x=-2 \):
\[ -8 - 4 - 14 - 14 = -40 \neq 0 \]
Шаг 11. Проверим \( x=7 \):
\[ 343 - 49 + 49 - 14 = 343 - 49 + 49 - 14 = 343 - 14 = 329 \neq 0 \]
Шаг 12. Проверим \( x=-7 \):
\[ -343 - 49 - 49 - 14 = -435 \neq 0 \]
Поскольку ни один из возможных рациональных корней не получается, ищем корень методом подбора или численными методами.
Посмотрим, между какими значениями меняется знак функции \( f(x) = x^3 - x^2 + 7x -14 \):
- \( f(1) = -7 \)
- \( f(2) = 4 \)
Так как \( f(1) < 0 \), а \( f(2) > 0 \), то есть корень между 1 и 2.
Проверим \( x=1.5 \):
\[ (1.5)^3 - (1.5)^2 + 7 \cdot 1.5 - 14 = 3.375 - 2.25 + 10.5 - 14 = (3.375 - 2.25) + (10.5 - 14) = 1.125 - 3.5 = -2.375 \neq 0 \]
Теперь между 1.5 и 2.
Проверим \( x=1.75 \):
\[ (1.75)^3 - (1.75)^2 + 7 \cdot 1.75 - 14 \approx 5.36 - 3.06 + 12.25 - 14 \approx 5.36 - 3.06 + (-1.75) = (2.3) - 1.75 = 0.55 \]
Нет, этого значения уже положительно. Значит корень между 1.5 и 1.75.
Проверим \( x=1.6 \):
\[ (1.6)^3 - (1.6)^2 + 7 \cdot 1.6 - 14 = 4.096 - 2.56 + 11.2 - 14 = (1.536) - 2.8 = -1.264 \]
Положительно или отрицательно? -
Проверим \( x=1.65 \):
\[ 4.49 - 2.7225 + 11.55 - 14 = 4.49 - 2.7225 + (-2.45) = 1.7675 - 2.45 = -0.68 \]
Ещё отрицательно.
Проверим \( x=1.7 \):
\[ 4.913 - 2.89 + 11.9 - 14 = 4.913 - 2.89 + (-2.1) = 2.023 - 2.1 = -0.077 \]
Очень близко к нулю. Попробуем чуть больше \( x=1.71 \):
\[ (1.71)^3 \approx 5.0,\quad (1.71)^2 \approx 2.9241 \]
\[ 5.0 - 2.9241 + 11.97 -14 \approx 2.0759 - 2.03 = 0.0459 \]
Тогда корень приблизительно между 1.7 и 1.71. Это очень точное приближение.
То есть, решение уравнения — это какое-то число примерно равно 1.705, комментарий о решении: поскольку простых рациональных корней не обнаружено, решение даётся как корень уравнения \( x^3 - x^2 + 7x - 14 = 0 \), приблизительно равный 1.7.
Ответ: корень уравнения примерно равен \( x \approx 1.7 \).
Если нужен точный ответ, то необходимо искать корень аналитическими или численными методами (например, методом Ньютона).
