Реши 2 задачу

Конечно! Вот подробное решение двух задач по алгебре, связанных со степенями.

Задача 7:
Представьте выражение:
\[81 \cdot 9^{-2} \cdot 9^{-7}\]

Цель: Упростить это выражение с помощью свойств степеней.

Шаг 1: Запишем 81 как степень, базирующуюся на 3:
\[81 = 3^4\]
так как \(3^4 = 81\).

Шаг 2: Запишем 9 как степень 3:
\[9 = 3^2\]

Шаг 3: Подставим в выражение:
\[3^4 \cdot (3^2)^{-2} \cdot (3^2)^{-7}\]

Шаг 4: Используем свойство степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
\[3^4 \cdot 3^{2 \cdot (-2)} \cdot 3^{2 \cdot (-7)} = 3^4 \cdot 3^{-4} \cdot 3^{-14}\]

Шаг 5: Применим свойство произведения степеней: \(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\)
\[3^{4 + (-4) + (-14)} = 3^{4 - 4 - 14} = 3^{-14}\]

Ответ:
\[ \boxed{3^{-14}} \]

Задача 8:
Вычислить:
\[ \frac{(2^{-5})^5 \cdot 2^{-3}}{(2^{-6})^{-7} \cdot 2^{-75}} \]

Цель: Упростить выражение.

Шаг 1: Обработать числитель: \((2^{-5})^5 \cdot 2^{-3}\)

• По свойству степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
  \[ (2^{-5})^5 = 2^{-5 \cdot 5} = 2^{-25} \]
• Тогда числитель:
  \[ 2^{-25} \cdot 2^{-3} = 2^{-25 + (-3)} = 2^{-28} \]

Шаг 2: Обработать знаменатель:
\[ (2^{-6})^{-7} \cdot 2^{-75} \]

• По свойству: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
  \[ (2^{-6})^{-7} = 2^{-6 \cdot (-7)} = 2^{42} \]
• Тогда весь знаменатель:
  \[ 2^{42} \cdot 2^{-75} = 2^{42 + (-75)} = 2^{-33} \]

Шаг 3: Итоговое выражение:
\[ \frac{2^{-28}}{2^{-33}} = 2^{-28 - (-33)} = 2^{-28 + 33} = 2^{5} \]

Ответ:
\[ \boxed{2^{5} = 32} \]

Если нужно, я могу пояснить подробнее каждое из решений.