Рассмотрим задачу: необходимо найти уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(3, 1) и B(8, 6).
Шаг 1: понять задачу
Задача сводится к поиску множества точек ( P(x, y) ), для которых расстояния до точек ( A(3,1) ) и ( B(8,6) ) равны:
[
|PA| = |PB|
]
/На русском языке:
Точки, равноудалённые от двух точек, лежат на ВСЕМИ серединных перпендикуляре между ними.
Это – прямая, которую и нужно найти./
Шаг 2: найти условие равенства расстояний
Расстояния от точки ( P(x,y) ) до точек ( A ) и ( B ):
[
|PA| = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2}
]
[
|PB| = \sqrt{(x - 8)^2 + (y - 6)^2}
]
Условие равенства:
[
\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(x - 8)^2 + (y - 6)^2}
]
Шаг 3: избавиться от корней
Возьмем квадрат обеих частей уравнения:
[
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (x - 8)^2 + (y - 6)^2
]
Раскроем скобки:
[
(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 - 16x + 64) + (y^2 - 12y + 36)
]
Упростим обе стороны:
Левая сторона:
[
x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 - 6x - 2y + 10
]
Правая сторона:
[
x^2 - 16x + 64 + y^2 - 12y + 36 = x^2 + y^2 - 16x - 12y + 100
]
Шаг 4: упростить и найти уравнение прямой
Вычитаем левую сторону из правой:
[
x^2 + y^2 - 16x - 12y + 100 - (x^2 + y^2 - 6x - 2y + 10) = 0
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + y^2 - 16x - 12y + 100 - x^2 - y^2 + 6x + 2y - 10 = 0
]
Запишем уравнение:
[
(-16x + 6x) + (-12y + 2y) + (100 - 10) = 0
]
[
-10x - 10y + 90 = 0
]
Разделим всё на -10 для удобства:
[
x + y - 9 = 0
]
Итог:
Уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A и B:
[
\boxed{
x + y - 9 = 0
}
]
или в общем виде:
[
x + y = 9
]
Это — прямая, являющаяся серединной перпендикуляром отрезка AB.
Если нужны дополнительные пояснения или помощь, обращайтесь!
