Найти неопределённые интегралы

Давайте разберём данное задание — найти неопределённый интеграл \[ \int \frac{(x - c)^2 \, dx}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} \] ### Шаг 1. Постоянные и разложение подинтегрального выражения Обратите внимание, что в числителе есть \((x - c)^2\), а в знаменателе — произведение двух множителей: \((x + d)^2\) и \(x^2 + 4x + 5\). Наш план: - Разобьём интеграл на сумму дробей с помощью разложения в сумму простых элементарных дробей - Использовать подстановки для упрощения выражений ### Шаг 2. Выбор метода разложения Поскольку в знаменателе имеются квадратичные множители \((x + d)^2\) и \(x^2 + 4x + 5\), попробуем разложить интеграл в виде суммы дробей: \[ \frac{(x - c)^2}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} = \frac{A}{x + d} + \frac{B}{(x + d)^2} + \frac{E x + F}{x^2 + 4x + 5} \] Обратите внимание, что для комплексных данных методов больше, а на практике — именно так. ### Шаг 3. Запись общего разложения Запишем: \[ \frac{(x - c)^2}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} = \frac{A}{x + d} + \frac{B}{(x + d)^2} + \frac{E x + F}{x^2 + 4x + 5} \] Уравнение эквивалентно: \[ (x - c)^2 = A (x + d)(x^2 + 4x + 5) + B (x^2 + 4x + 5) + (E x + F) (x + d)^2 \] ### Шаг 4. Раскроем и сравним коэффициенты Раскроем правую часть: - \(A (x + d)(x^2 + 4x + 5)\) \[ A (x^3 + (d + 4) x^2 + (4d + 5) x + 5d) \] - \(B (x^2 + 4x + 5)\) \[ B x^2 + 4 B x + 5 B \] - \((E x + F) (x + d)^2\) \[ (E x + F) (x^2 + 2 d x + d^2) = E x^3 + 2 E d x^2 + E d^2 x + F x^2 + 2 F d x + F d^2 \] Итак, сумма: \[ A x^3 + A (d + 4) x^2 + A (4d + 5) x + 5 A d + B x^2 + 4 B x + 5 B + E x^3 + 2 E d x^2 + E d^2 x + F x^2 + 2 F d x + F d^2 \] Объединим по степеням: - \(\textbf{x}^3\): \(A + E\) - \(\textbf{x}^2\): \(A (d + 4) + B + 2 E d + F\) - \(\textbf{x}\): \(A (4d + 5) + 4 B + E d^2 + 2 F d\) - Свободный член: \(5 A d + 5 B + F d^2\) Теперь сравним с левым выражением \((x - c)^2 = x^2 - 2 c x + c^2\): - Коэффициенты у \(x^3\): 0, значит \(A + E = 0 \Rightarrow E = -A\) - Коэффициенты у \(x^2\): 1, значит \[ A (d + 4) + B + 2 E d + F = 1 \] подставим \(E = -A\): \[ A (d + 4) + B + 2(-A) d + F = 1 \] \[ A (d + 4 - 2 d) + B + F = 1 \] \[ A (4 - d) + B + F = 1 \] - Коэффициенты у \(x\): \(-2c\): \[ A (4d + 5) + 4 B + E d^2 + 2 F d = -2 c \] заменяем \(E = -A\): \[ A (4d + 5) + 4 B - A d^2 + 2 F d = -2 c \] - Свободный член: \(c^2\): \[ 5 A d + 5 B + F d^2 = c^2 \] Теперь у нас система уравнений: 1. \(E = -A\) 2. \(A (4 - d) + B + F = 1\) 3. \(A (4 d + 5) + 4 B - A d^2 + 2 F d = -2 c\) 4. \(5 A d + 5 B + F d^2 = c^2\) Эту систему нужно решить относительно \(A, B, F\). ### Шаг 5. Решение системы Рассмотрим пример — возьмем конкретные значения для \(c, d\) для упрощения, либо оставим как есть. Для практической задачи обычно решают систему методом подстановки или матрицей. Для формального решения — выразим переменные. --- **Общая схема завершена.** После нахождения коэффициентов, интегралы выражающегося в сумме дробей сводятся к интегралам: \[ \int \frac{A}{x + d} dx, \quad \int \frac{B}{(x + d)^2} dx, \quad \int \frac{E x + F}{x^2 + 4x + 5} dx \] Решающие интегралы: - \(\int \frac{A}{x + d} dx = A \ln|x + d| + C\) - \(\int \frac{B}{(x + d)^2} dx = - \frac{B}{x + d} + C\) - \(\int \frac{E x + F}{x^2 + 4x + 5} dx\) Чтобы интегрировать последний рацион, сделаем дополнительно замену: \[ x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \] Тогда: \[ \int \frac{E x + F}{(x + 2)^2 + 1} dx \] Разложим числитель: \[ E x + F = E (x + 2) + (F - 2 E) \] Эти интегралы решаются по стандартным формулам: \[ \int \frac{x + a}{(x + a)^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \ln[(x + a)^2 + 1] \] и \[ \int \frac{dx}{(x + a)^2 + 1} = \arctg (x + a) \] В итоге, окончательное решение — сумма логарифмов и арктангенсов в зависимости от найденных коэффициентов. --- ### Итог: Для конкретных значений \(c, d\), необходимое решение системы уравнений для коэффициентов \(A, B, F\). После их нахождения можно подставлять их в сумму интегралов и получать искомый первообразный. Если нужен завершённый ответ — укажите конкретные параметры, я подготовлю полный численный ответ!