Найти неопределённые интегралы
Давайте разберём данное задание — найти неопределённый интеграл
\[ \int \frac{(x - c)^2 \, dx}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} \]
Шаг 1. Постоянные и разложение подинтегрального выражения
Обратите внимание, что в числителе есть \((x - c)^2\), а в знаменателе — произведение двух множителей: \((x + d)^2\) и \(x^2 + 4x + 5\).
Наш план:
- Разобьём интеграл на сумму дробей с помощью разложения в сумму простых элементарных дробей
- Использовать подстановки для упрощения выражений
Шаг 2. Выбор метода разложения
Поскольку в знаменателе имеются квадратичные множители \((x + d)^2\) и \(x^2 + 4x + 5\), попробуем разложить интеграл в виде суммы дробей:
\[ \frac{(x - c)^2}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} = \frac{A}{x + d} + \frac{B}{(x + d)^2} + \frac{E x + F}{x^2 + 4x + 5} \]
Обратите внимание, что для комплексных данных методов больше, а на практике — именно так.
Шаг 3. Запись общего разложения
Запишем:
\[ \frac{(x - c)^2}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} = \frac{A}{x + d} + \frac{B}{(x + d)^2} + \frac{E x + F}{x^2 + 4x + 5} \]
Уравнение эквивалентно:
\[ (x - c)^2 = A (x + d)(x^2 + 4x + 5) + B (x^2 + 4x + 5) + (E x + F) (x + d)^2 \]
Шаг 4. Раскроем и сравним коэффициенты
Раскроем правую часть:
- \(A (x + d)(x^2 + 4x + 5)\)
\[ A (x^3 + (d + 4) x^2 + (4d + 5) x + 5d) \]
- \(B (x^2 + 4x + 5)\)
\[ B x^2 + 4 B x + 5 B \]
- \((E x + F) (x + d)^2\)
\[ (E x + F) (x^2 + 2 d x + d^2) = E x^3 + 2 E d x^2 + E d^2 x + F x^2 + 2 F d x + F d^2 \]
Итак, сумма:
\[ A x^3 + A (d + 4) x^2 + A (4d + 5) x + 5 A d + B x^2 + 4 B x + 5 B + E x^3 + 2 E d x^2 + E d^2 x + F x^2 + 2 F d x + F d^2 \]
Объединим по степеням:
- \(\textbf{x}^3\): \(A + E\)
- \(\textbf{x}^2\): \(A (d + 4) + B + 2 E d + F\)
- \(\textbf{x}\): \(A (4d + 5) + 4 B + E d^2 + 2 F d\)
- Свободный член: \(5 A d + 5 B + F d^2\)
Теперь сравним с левым выражением \((x - c)^2 = x^2 - 2 c x + c^2\):
- Коэффициенты у \(x^3\): 0, значит \(A + E = 0 \Rightarrow E = -A\)
- Коэффициенты у \(x^2\): 1, значит
\[ A (d + 4) + B + 2 E d + F = 1 \]
подставим \(E = -A\):
\[ A (d + 4) + B + 2(-A) d + F = 1 \] \[ A (d + 4 - 2 d) + B + F = 1 \] \[ A (4 - d) + B + F = 1 \]
- Коэффициенты у \(x\): \(-2c\):
\[ A (4d + 5) + 4 B + E d^2 + 2 F d = -2 c \]
заменяем \(E = -A\):
\[ A (4d + 5) + 4 B - A d^2 + 2 F d = -2 c \]
- Свободный член: \(c^2\):
\[ 5 A d + 5 B + F d^2 = c^2 \]
Теперь у нас система уравнений:
- \(E = -A\)
- \(A (4 - d) + B + F = 1\)
- \(A (4 d + 5) + 4 B - A d^2 + 2 F d = -2 c\)
- \(5 A d + 5 B + F d^2 = c^2\)
Эту систему нужно решить относительно \(A, B, F\).
Шаг 5. Решение системы
Рассмотрим пример — возьмем конкретные значения для \(c, d\) для упрощения, либо оставим как есть.
Для практической задачи обычно решают систему методом подстановки или матрицей. Для формального решения — выразим переменные.
Общая схема завершена. После нахождения коэффициентов, интегралы выражающегося в сумме дробей сводятся к интегралам:
\[ \int \frac{A}{x + d} dx, \quad \int \frac{B}{(x + d)^2} dx, \quad \int \frac{E x + F}{x^2 + 4x + 5} dx \]
Решающие интегралы:
- \(\int \frac{A}{x + d} dx = A \ln|x + d| + C\)
- \(\int \frac{B}{(x + d)^2} dx = - \frac{B}{x + d} + C\)
- \(\int \frac{E x + F}{x^2 + 4x + 5} dx\)
Чтобы интегрировать последний рацион, сделаем дополнительно замену:
\[ x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \]
Тогда:
\[ \int \frac{E x + F}{(x + 2)^2 + 1} dx \]
Разложим числитель:
\[ E x + F = E (x + 2) + (F - 2 E) \]
Эти интегралы решаются по стандартным формулам:
\[ \int \frac{x + a}{(x + a)^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \ln[(x + a)^2 + 1] \]
и
\[ \int \frac{dx}{(x + a)^2 + 1} = \arctg (x + a) \]
В итоге, окончательное решение — сумма логарифмов и арктангенсов в зависимости от найденных коэффициентов.
Итог:
Для конкретных значений \(c, d\), необходимое решение системы уравнений для коэффициентов \(A, B, F\). После их нахождения можно подставлять их в сумму интегралов и получать искомый первообразный.
Если нужен завершённый ответ — укажите конкретные параметры, я подготовлю полный численный ответ!
